Question

若二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸有兩個不同的交點A（1，0）、B（-3，0），與y軸的負半軸交于點C，且S_△ABC=6．
（Ⅰ）求該二次函數(shù)的解析式和頂點P的坐標；
（Ⅱ）經(jīng)過A、B、P三點畫⊙O′，求⊙O′的面積；
（Ⅲ）設拋物線上有一動點M（a，b），連AM，BM，試判斷△ABM能否是直角三角形？若能，求出M點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由A（1，0）、B（-3，0），與y軸的負半軸交于點C，且S_△ABC=6，即可求得c的值，即點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式，然后利用配方法即可求得頂點P的坐標；
（Ⅱ）由經(jīng)過A、B、P三點畫⊙O′，即可知O′在以△ABP的三邊的垂直平分線的交點處，則過點P作PC⊥AB于C，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，可知點O′在此直線PC上，即可設O′為（-1，m），然后由O′P=O′B，即可求得m的值，繼而得到⊙O′的半徑長，利用圓的面積公式求得⊙O′的面積；
（3）由拋物線上有一動點M（a，b），△ABM是直角三角形，可知∠AMB是直角，然后設M（x，x²+2x-3），根據(jù)勾股定理，即可求得方程：（x+3）²+（x²+2x-3）²+（x-1）²+（x²+2x-3）²=16，解此方程即可求得M點的坐標．
解答：解：（Ⅰ）∵y軸的負半軸交于點C（0，c），
∴c＜0，
∵A（1，0）、B（-3，0），
∴AB=4，
∴S_△ABC=×AB×|c|=6，
∴c=-3，
∴點C的坐標為（0，-3），
∴，
解得：，
∴該二次函數(shù)的解析式為：y=x²+2x-3，
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴頂點P的坐標為（-1，-4）；

（Ⅱ）如圖：根據(jù)題意得：PA=PB，
過點P作PC⊥AB于C，
∴AC=BC，
∴O′在PC上，
設O′的坐標為（-1，m），
∵O′P=O′B=，
∴m-（-4）=，
解得：m=-，
∴O′P=-+4=，
∴⊙O′的面積為：π；

（Ⅲ）存在．
設拋物線上有一動點M（x，x²+2x-3），
若△ABM是直角三角形，
則∠AMB=90°，
∴AM²+BM²=AB²，
∴（x+3）²+（x²+2x-3）²+（x-1）²+（x²+2x-3）²=16，
∴2（x²+2x-3）²+（2x²+4x+10）=16，
∴2（x²+2x-3）²+2（x²+2x-3）+16=16，
∴（x²+2x-3）（x²+2x-3+1）=0，
解得：x₁=-3（舍去），x₂=1（舍去），x₃=-1，x₄=--1，
當x₃=-1時，y=-1，
當x₄=--1時，y=-1，
∴M點的坐標為：（-1，-1）或（--1，-1）．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、三角形的外接圓、勾股定理、兩點間的距離公式等知識．此題綜合性很強，難度較大，解此題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．