Question

 如圖，拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，－3），設(shè)拋物線的頂點為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標；

（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？

（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請指出符合條件的點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為，

由拋物線與y軸交于點C（0，－3）,可知.

即拋物線的解析式為．              

把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得

解得.

∴ 拋物線的解析式為y = x²－2x－3．  

∴ 頂點D的坐標為.      

說明：只要學生求對，不寫“拋物線的解析式為y = x²－2x－3”不扣分.

（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形.     

理由如下：

過點D分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F.

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ .            

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ .   

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ .

∴ ， 故△BCD為直角三角形.     

（3）連接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合條件的點為O（0，0）． 

過A作AP₁⊥AC交y軸正半軸于P₁，可知Rt△CAP₁ ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

求得符合條件的點為．        

過C作CP₂⊥AC交x軸正半軸于P₂，可知Rt△P₂CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

求得符合條件的點為P₂（9，0）．       

    ∴符合條件的點有三個：O（0，0），，P₂（9，0）.