Question

如圖，已知等腰△ABC中，頂角∠A=36°，作∠ACB的平分線交AB于D，若BC=4．
（1）求AD的長；
（2）求證：△CDB∽△ABC；
（3）求BD的長．

Answer 1

分析：（1）由等腰△ABC中，頂角∠A=36°，CD是∠ACB的平分線，即可求得∠B=∠BDC=72°，∠ACD=∠BCD=∠A=36°，可得AD=CD=BC=4；
（2）由∠BCD=∠A=36°，∠B是公共角，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可證得：△CDB∽△ABC；
（3）由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得BD的長．

解答：解：（1）∵等腰△ABC中，頂角∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=

180°-∠A

2

=72°，
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=∠BCD=

1

2

∠ACB=36°，
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=72°，
∴∠BDC=∠B，∠ACD=∠A，
∴CD=BC，CD=AD，
∴AD=BC=4；

（2）∵∠BCD=∠A=36°，∠B是公共角，
∴△CDB∽△ABC；

（3）∵△CDB∽△ABC，
∴BD：BC=BC：AC，
即BC²=BD•AC，
設(shè)BD=x，則AC=AB=AD+BD=x+4，
∴4²=x（x+4），
解得：x=±2

5

-2（負值舍去），
∴BD=2

5

-2．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．