Question

【題目】對稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=x2+bx+c，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)A（﹣3，0）與點(diǎn)B關(guān)于直線x=﹣1對稱，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．

（2）解：∵a=1，∴y=x2+bx+c．

∵拋物線過點(diǎn)（﹣3，0），且對稱軸為直線x=﹣1，

∴

∴解得： ，

∴y=x2+2x﹣3，

且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，

則 ，

解得： ，

∴y=﹣x﹣3

如圖，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x．y），﹣3≤x≤0．

則有QD=﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+

∵﹣3≤﹣ ≤0，∴當(dāng)x=﹣ 時(shí)，QD有最大值 ．

∴線段QD長度的最大值為 ．

【解析】（1）利用二次函數(shù)對稱性即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）首先利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進(jìn)而求出直線AC的解析式，再利用QD=﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）進(jìn)而求出最值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識(shí)，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法，以及對二次函數(shù)的最值的理解，了解如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．