Question

已知：關(guān)于x的方程mx²-（4m+3）x+3m+3=0．
（1）求證：無論m取何值方程必有實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)m＞0方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x₂-3x₁，求這個函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量m的取值范圍滿足什么條件時，y≤m+2．

Answer 1

分析：（1）要證明無論m取何值方程必有實(shí)數(shù)根，分兩種情況討論：當(dāng)m=0，原方程有解；當(dāng)m≠0，只要證明△≥0即可，而△=（4m+3）²-4m（3m+3）=（2m+3）²，由（2m+3）²≥0，可得到△≥0；
（2）利用求根公式可得x=

4m+3± (2m+3) 2

2m

=

4m+3±(2m+3)

2m

，因?yàn)閙＞0，x₁＜x₂．所以x₂=

3m+3

m

，x₁=1，然后代入y=x₂-3x₁，即可得到函數(shù)的解析式即可；
（3）先求出y=

3

m

和y=m+2的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)圖象回答自變量m的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)m=0，原方程變?yōu)椋?3x+3=0，此方程有根為x=1；
當(dāng)m≠0，△=（4m+3）²-4m（3m+3）=（2m+3）²，
由（2m+3）²≥0
∴△≥0，即方程有兩個實(shí)數(shù)根
所以無論m取何值方程必有實(shí)數(shù)根；

（2）∵x=

4m+3± (2m+3) 2

2m

=

4m+3±(2m+3)

2m

，而m＞0，x₁＜x₂，
∴x₂=

3m+3

m

，x₁=1，
∴y=x₂-3x₁=

3m+3

m

-3=

3

m

（m＞0）；

（3）y=

3

m

（m＞0）和y=m+2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
如圖，當(dāng)m≥1，y≤m+2．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．同時考查了一元一次方程和一元二次方程的定義以及用圖象法解不等式的方法．