Question

（2013•涼山州）如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數式表示PM的長；
（3）在（2）的條件下，連結PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A（3，0），C（0，4）代入y=ax²-2ax+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）先根據A、C的坐標，用待定系數法求出直線AC的解析式，進而根據拋物線和直線AC的解析式分別表示出點P、點M的坐標，即可得到PM的長；
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E對應，則若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似時，分兩種情況進行討論：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分別用含m的代數式表示出AE、EM、CF、PF的長，根據相似三角形對應邊的比相等列出比例式，求出m的值，再根據相似三角形的性質，直角三角形、等腰三角形的判定判斷出△PCM的形狀．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）經過點A（3，0），點C（0，4），
∴

9a-6a+c=0 c=4

，解得

a=- 4 3 c=4

，
∴拋物線的解析式為y=-

4

3

x²+

8

3

x+4；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（3，0），點C（0，4），
∴

3k+b=0 b=4

，解得

k=- 4 3 b=4

，
∴直線AC的解析式為y=-

4

3

x+4．
∵點M的橫坐標為m，點M在AC上，
∴M點的坐標為（m，-

4

3

m+4），
∵點P的橫坐標為m，點P在拋物線y=-

4

3

x²+

8

3

x+4上，
∴點P的坐標為（m，-

4

3

m²+

8

3

m+4），
∴PM=PE-ME=（-

4

3

m²+

8

3

m+4）-（-

4

3

m+4）=-

4

3

m²+4m，
即PM=-

4

3

m²+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的條件下，連結PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似．理由如下：
由題意，可得AE=3-m，EM=-

4

3

m+4，CF=m，PF=-

4

3

m²+

8

3

m+4-4=-

4

3

m²+

8

3

m．
若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，分兩種情況：
①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，
即（-

4

3

m²+

8

3

m）：（3-m）=m：（-

4

3

m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=

23

16

．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，
∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，
∴△PCM為直角三角形；
②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，
即m：（3-m）=（-

4

3

m²+

8

3

m）：（-

4

3

m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．
∴CP=CM，
∴△PCM為等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為

23

16

或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形．

點評：此題是二次函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，直角三角形、等腰三角形的判定，難度適中．要注意的是當相似三角形的對應邊和對應角不明確時，要分類討論，以免漏解．