Question

如圖，A，B兩點(diǎn)同時從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)A以每秒a個單位長度沿x軸的負(fù)方向運(yùn)動，點(diǎn)B以每秒b個單位長度沿y軸的正方向運(yùn)動．
（1）如圖1，若|a+2b-5|+（2a-b）²=0，試分別求出1秒鐘后，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，延長BA至E，在∠ABO的內(nèi)部作射線BF交x軸于點(diǎn)C，若∠EAC，∠FCA，∠ABC的平分線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作BE的垂線，垂足為H，試問∠AGH，∠BGC的大小關(guān)系如何？請寫出你的結(jié)論并證明；
（3）如圖3，過A，O兩點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)N，AB的延長線交ON于點(diǎn)M，若∠MAN=∠NOB，∠BAO-∠N=m°，試求∠AMO的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先由題意列出方程組，然后解方程組，再根據(jù)圖寫出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）試求∠AGH和∠BGC的大小關(guān)系，找到與它們有關(guān)的角．如∠BAC，作GM⊥BF于點(diǎn)M，由已知有可得∠AGH與∠BGC的關(guān)系．
（3）首先證明∠N+∠NAM=∠NOB+∠N=∠AMO，再通過∠MAO+∠AOM+∠AMO=180°，可得到∠MAO+∠NAM+∠N+∠NOB=90°，然后再進(jìn)行等量代換可得到∠N+∠NOB=

1

2

（90°-m°），即可得到答案．

解答：解：（1）由題意，得

a+2b-5=0 2a-b=0

，
解得：

a=1 b=2

．
∴A（-1，0），B（0，2）；

（2）作GM⊥BF于點(diǎn)M．
由已知有：∠AGH=90°-

1

2

∠EAC
=90°-

1

2

（180°-∠BAC），
=90°-

1

2

×180°+

1

2

∠BAC，
=90°-90°+

1

2

∠BAC，
=

1

2

∠BAC，
∠BGC=∠BGM-∠CGM
=90°-

1

2

∠ABC-（90°-

1

2

∠ACF）
=

1

2

（∠ACF-∠ABC）
=

1

2

∠BAC
∴∠AGH=∠BGC．

（3）∵∠BAO-∠N=m°，
∴∠BAO=∠N+m°，
∵∠NAM=∠NOB，
∴∠N+∠NAM=∠NOB+∠N=∠AMO，
∵∠MAO+∠AOM+∠AMO=180°，
∴∠MAO+∠AMO+∠BOM=180°-90°=90°，
∴∠MAO+∠NAM+∠N+∠NOB=90°，
∴∠N+m°+∠NOB+∠N+∠NOB=90°，
即：∠N+∠NOB=

1

2

（90°-m°），
∴∠AMO=

1

2

（90-m）°．

點(diǎn)評：此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，外角與內(nèi)角的關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，此題是一個綜合性較強(qiáng)的題目，難度較大．