Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=4，BC=12，點E在邊BA的延長線上，AE=2，點F在BC邊上，EF與邊AD相交于點G，DF⊥EF，設(shè)AG=x，DF=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（2）當(dāng)AD=11時，求AG的長；
（3）如果半徑為EG的⊙E與半徑為FD的⊙F相切，求這兩個圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)AD∥BC，∠B=90°求出∠EAG=∠B=90°，在Rt△AEG中根據(jù)勾股定理可用x表示出EG的值，再根據(jù)平行線分線段成比例可得出

FG

AB

=

EG

AE

，進而可得到關(guān)于x、y的關(guān)系式，由二次根式有意義的條件求出x的取值范圍即可；
（2）由△DFG∽△EAG可得到

GD

EG

=

FG

AG

，可用x表示出GD的值，再把AD=11代入即可求出x的值，進而得出AG的長；
（3）①當(dāng)⊙E與⊙F外切時，EF=EG+FD=EG+FG，再由△DFG∽△EAG即可求出AG=AE=2，進而可得出⊙E與⊙F的半徑；
②當(dāng)⊙E與⊙F內(nèi)切時，EF=FD-EG，再把EF、FD及ED的關(guān)系式代入即可求出x的值，由勾股定理即可求出兩圓的半徑．

解答：解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠EAG=∠B=90°，
∴EG=

AE2+AG2

=

4+x2

，
∵

FG

AB

=

EG

AE

，
∴FG=

AB•EG

AE

=

4• 4+x2

2

=2

4+x2

，
∵∠DFG=∠EAG=90°，∠EGA=∠DGF，△DFG∽△EAG，
∴

DF

GF

=

AE

AG

，
∴

y

2 4+x2

=

2

x

，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=

4 4+x2

x

，定義域為0＜x≤4．

（2）∵△DFG∽△EAG，
∴

GD

EG

=

FG

AG

，
∴

GD

4+x2

=

2 4+x2

x

，
∴GD=

8+2x2

x

．
當(dāng)AD=11時，x+

8+2x2

x

=11，x₁=1，x₂=

8

3

，
經(jīng)檢驗它們都是原方程的根，且符合題意，所以AG的長為1或

8

3

．

（3）當(dāng)⊙E與⊙F外切時，EF=EG+FD=EG+FG，
∴FD=FG，
∵△DFG∽△EAG，
∴∠E=∠AGE=∠FGD=∠GDF．
∴AG=AE=2；
∴⊙E的半徑EG=2

2

，⊙F的半徑FD=4

2

．
當(dāng)⊙E與⊙F內(nèi)切時，EF=FD-EG，
∴3

4+x2

=

4 4+x2

x

-

4+x2

，
∵

4+x2

≠0，
∴3=

4

x

-1，
∴x=1，
∴⊙E的半徑EG=

4+1

=

5

，⊙F的半徑FD=4

5

，
∴⊙E的半徑為2

2

，⊙F的半徑為4

2

；或⊙E的半徑為

5

，⊙F的半徑為4

5

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及兩圓相切的性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大，在解（3）時要注意分兩圓外切與內(nèi)切兩種情況進行討論．