Question

已知：如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作FE⊥BC（垂足為E）交AB于點(diǎn)F，且EF=AF，以點(diǎn)E為圓心，EC長為半徑作⊙E交BC于點(diǎn)D．
（1）求證：斜邊AB是⊙E的切線；
（2）設(shè)若AB與⊙E相切的切點(diǎn)為G，AC=8，EF=5，連DA、DG，求S_△ADG．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，連接EA，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG=EC即可證得斜邊AB是⊙E的切線；
（2）已知可分別求得AE，GH，GC的長，從而求得S_Rt△DGC的值，那么S_△ADG就不難求得了．
解答：解：（1）過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，連接EA；
∵AF=EF，∠FEA+∠AEC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠FEA=∠FAE，
∴∠FAE=∠EAC，
∴AE為角平分線，
∴EG=EC，
∴斜邊AB是⊙E的切線．

（2）連CG與AE相交于點(diǎn)H，由切線長定理得到：AC=AG=8，
由EF=AF=5；得FG=AG-AF=8-5=3，
在Rt△EFG中，根據(jù)勾股定理得：EG=CE==4，
∴AE==，又AE•GH=AG•GE，
∴GH==，GC=2GH=，
∴DG==
∴S_Rt△DGC=DG•CG=；
由Rt△DGC的面積為，
∵CD是直徑，
∴∠DGC=90°，
∵AG、AC是⊙E切線，
∴AE⊥CG，
∴∠EHC=90°=∠DGC，
∴DG∥AE，
∴S_△AGD=S_△DGE=S_Rt△DGC=．
點(diǎn)評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．