Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣ x2﹣ x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C

（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E是此拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)F是其對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，求以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積；
（3）此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得﹣ x2﹣ x+2=0，

∴x2+2x﹣8=0，

x=﹣4或2，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)（2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣4，0），

令x=0，得y=2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，2）．

（2）

解：由圖像①AB為平行四邊形的邊時(shí)，

∵AB=EF=6，對(duì)稱(chēng)軸x=﹣1，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為﹣7或5，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)（﹣7，﹣ ）或（5，﹣ ），此時(shí)點(diǎn)F（﹣1，﹣ ），

∴以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積=6× = ．

②當(dāng)點(diǎn)E在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E（﹣1， ），設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為M，令EM與FM相等，則四邊形AEBF是菱形，此時(shí)以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積= ×6× = ．

（3）

解：如圖所示

①當(dāng)C為等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)時(shí)，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，

在RT△CM1N中，CN= = ，

∴點(diǎn)M1坐標(biāo)（﹣1，2+ ），點(diǎn)M2坐標(biāo)（﹣1，2﹣ ）．

②當(dāng)M3為等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)時(shí)，∵直線AC解析式為y=﹣x+2，

∴線段AC的垂直平分線為y=x與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為M3（﹣1．﹣1），

∴點(diǎn)M3坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．

③當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)的三角形不存在．

綜上所述點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+ ）或（﹣1，2﹣ ）．

【解析】（1）分別令y=0，x=0，即可解決問(wèn)題．（2）由圖像可知AB只能為平行四邊形的邊，分E點(diǎn)為拋物線上的普通點(diǎn)和頂點(diǎn)2種情況討論，即可求出平行四邊形的面積．（3）分A、C、M為頂點(diǎn)三種情形討論，分別求解即可解決問(wèn)題．