Question

如圖，已知直線l₁：y=-x+2與直線l₂：y=2x+8相交于點(diǎn)F，l₁、l₂分別交x軸于點(diǎn)E、G，矩形ABCD頂點(diǎn)C、D分別在直線l₁、l₂，頂點(diǎn)A、B都在x軸上，且點(diǎn)B與點(diǎn)G重合．
（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)和∠GEF的度數(shù)；
（2）求矩形ABCD的邊DC與BC的長(zhǎng)；
（3）若矩形ABCD從原地出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD與△GEF重疊部分的面積為s，求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于直線l₁：y=-x+2與直線l₂：y=2x+8相交于點(diǎn)F，因而聯(lián)立兩解析式組成方程組求得解即為F點(diǎn)的坐標(biāo)．過(guò)F點(diǎn)作直線FM垂直X軸交x軸于M，通過(guò)坐標(biāo)值間的關(guān)系證得ME=MF=4，從而得到△MEF是等腰直角三角形，∠GEF=45°；
（2）首先求得B（或G）點(diǎn)的坐標(biāo)、再依次求得點(diǎn)C、D、A的坐標(biāo)．并進(jìn)而得到DC與BC的長(zhǎng)；
（3）首先將動(dòng)點(diǎn)A、B用時(shí)間t來(lái)表示．再就①在運(yùn)動(dòng)到t秒，若BC邊與l₂相交設(shè)交點(diǎn)為N，AD與l₁相交設(shè)交點(diǎn)為K；②在運(yùn)動(dòng)到t秒，若BC邊與l₁相交設(shè)交點(diǎn)為N，AD與l₁相交設(shè)交點(diǎn)為K；③在運(yùn)動(dòng)到t秒，若BC邊與l₁相交設(shè)交點(diǎn)為N，AD與l₁不相交．三種情況討論解得s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）由題意得

y=-x+2 y=2x+8

，
解得x=-2，y=4，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)：（-2，4）；
過(guò)F點(diǎn)作直線FM垂直X軸交x軸于M，ME=MF=4，△MEF是等腰直角三角形，∠GEF=45°；

（2）∵點(diǎn)G是直線l2與x軸的交點(diǎn)，
∴當(dāng)y=0時(shí)，2x+8=0，解得x=-4，
∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0），則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-4，
∵點(diǎn)C在直線l₁上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，6），
∵由圖可知點(diǎn)D與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，且點(diǎn)D在直線l₂上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，6），
∵由圖可知點(diǎn)A與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)相同，且點(diǎn)A在x軸上，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴DC=|-1-（-4）|=3，BC=6；

（3）∵點(diǎn)E是l₁與x軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0），
S_△GFE=

1

2

GE•MF=

1

2

(2+4)×4=12，
若矩形ABCD從原地出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，
當(dāng)t秒時(shí)，移動(dòng)的距離是1×t=t，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4+t，0），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1+t，0）；

①在運(yùn)動(dòng)到t秒，若BC邊與l₂相交設(shè)交點(diǎn)為N，AD與l₁相交設(shè)交點(diǎn)為K，那么-4≤-4+t≤-2，即0≤t≤2時(shí)．
N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4+t，2t），K點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1+t，3-t），
s=S_△GFE-S_△GNB-S_△AEK=12-

1

2

t•2t-

1

2

(3-t)•(3-t)=-

3

2

t2-3t+

15

2

，
②在運(yùn)動(dòng)到t秒，若BC邊與l₁相交設(shè)交點(diǎn)為N，AD與l₁相交設(shè)交點(diǎn)為K，那么-2＜-4+t且-1+t≤3，即2＜t＜4時(shí)．
N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4+t，6-t），K點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1+t，3-t），
s=S_梯形BNKA=

1

2

[(6-t)+(3-t)]•3=- 3t+

27

2

，
③在運(yùn)動(dòng)到t秒，若BC邊與l₁相交設(shè)交點(diǎn)為N，AD與l₁不相交，那么-4+t≤3且-1+t＞3，即4≤t≤6時(shí)．
N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4+t，6-t），
s=S_△BNE=

1

2

[2-(-4+t)]•(6-t)=

1

2

t2-6t+18，
答：（1）F點(diǎn)坐標(biāo)：（-2，4），∠GEF的度數(shù)是45°；
（2）矩形ABCD的邊DC的長(zhǎng)為3，BC的長(zhǎng)為6；
（3）s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式

s=- 3 2 t2-3t+ 15 2 (0≤t≤2) s=-3t+ 27 2 (2＜t＜4) s= 1 2 t2-6t+18(4≤t≤6)

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)與三角形、矩形、梯形相結(jié)合的問(wèn)題，在圖形中滲透運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題．