Question

【題目】已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0）和（2，6）．
（1）求b和c的值．
（2）若點(diǎn)A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，問是否存在整數(shù)n，使 + + = ？若存在，請求出n；若不存在，請說明理由．
（3）若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象在y軸左側(cè)部分上的一個(gè)動點(diǎn)，將直線y=﹣2x沿y軸向下平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，請求出所有符合條件點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：把（﹣1，0）和（2，6）代入y=x2+bx+c中，

得 解得 ，

∴b=1，c=0．

（2）解：由題意y1=n2+n，y2=（n+1）2+（n+1），y3=（n+2）2+（n+2），

∵ + + = ，

∴ + + = ，

∴ ﹣ + ﹣ + ﹣ = ，

∴ ﹣ = ，

整理得n2+3n﹣10=0，

解得n=2或﹣5．

經(jīng)過檢驗(yàn)n=2和﹣5是分式方程的解．

（3）解：當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，由圖象可知不存在點(diǎn)P，使得△PCD為直角三角形，當(dāng)C為直角頂點(diǎn)，CD為直角邊時(shí)，作PE⊥OC于E．

設(shè)直線y=﹣2x向下平移m個(gè)單位，則直線CD解析式為y=﹣2x﹣m，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)（0，﹣m），點(diǎn)C坐標(biāo)（﹣ ，0），

∴OD=m，OC= ，

∴OD=20C，

∵△PCD與△OCD相似，

∴CD=2PC或PC=2CD，

①當(dāng)CD=2PC時(shí)，

∵∠PCD=90°，

∴∠PCE+∠DCO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，

∴∠PCE=∠CDO，

∵∠PEC=∠COD=90°，

∴△COD∽△PEC，

∴ = = =2，

∴EC= ，PE= ，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（﹣m，﹣ ），代入y=x2+x，

得﹣ =m2﹣m，解得m= 或（0舍棄）

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（﹣ ，﹣ ）．

②PC=2CD時(shí)，由 = = = ，

∴EC=2m，PE=m，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（﹣ m，﹣m），代入y=x2+x，

得﹣m= m2﹣ m，

解得m= 和（0舍棄），

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可得；
（2）直接把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入（1）中所求得解析式可得y1，y2，y3的值，再代入所給的得y1，y2，y3之間的關(guān)系式化簡解方程可得；
（3）分D、C分別為直角頂點(diǎn)來討論求解.注意C為直角頂點(diǎn)存在兩種情況：CD=2PC和PC=2CD.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解去分母法的相關(guān)知識，掌握先約后乘公分母，整式方程轉(zhuǎn)化出．特殊情況可換元，去掉分母是出路．求得解后要驗(yàn)根，原留增舍別含糊，以及對二次函數(shù)圖象的平移的理解，了解平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減．