Question

【問題】如圖甲，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=

3

，PC=1，求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長．
【探究】解題思路是：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如圖乙所示，連接PP′．
（1）△P′PB是

 

三角形，△PP′A是

 

三角形，∠BPC=

 

°；
（2）利用△BPC可以求出△ABC的邊長為

 

．
【拓展應(yīng)用】
如圖丙，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=

5

，BP=

2

，PC=1；
（3）求∠BPC度數(shù)的大小；
（4）求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析：【探究】將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2），連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，進(jìn)而求出等邊△ABC的邊長為

7

，問題得到解決．
【拓展應(yīng)用】求出∠BEP=

1

2

（180°-90°）=45°，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；過點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長線于點(diǎn)F，求出FE=BF=1，AF=2，關(guān)鍵勾股定理即可求出AB．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得出△ABP′，
∴AP′=CP=1，BP′=BP=

3

，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPP′是等邊三角形，
∴PP′=

3

，∠BP′P=60°，
∵AP′=1，AP=2，
∴AP′²+PP′²=AP²，
∴∠AP′P=90°，則△PP′A是 直角三角形；
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°；

（2）過點(diǎn)B作BM⊥AP′，交AP′的延長線于點(diǎn)M，
∴∠MP′B=30°，BM=

3

2

，
由勾股定理得：P′M=

3

2

，
∴AM=1+

3

2

=

5

2

，
由勾股定理得：AB=

AM2+BM2

=

7

，
故答案為：（1）等邊；直角；150；

7

；

（3）將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，
與（1）類似：可得：AE=PC=1，BE=BP=

2

，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，
∴∠BEP=

1

2

（180°-90°）=45°，
由勾股定理得：EP=2，
∵AE=1，AP=

5

，EP=2，
∴AE²+PE²=AP²，
∴∠AEP=90°，
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；

（4）過點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長線于點(diǎn)F；
∴∠FEB=45°，
∴FE=BF=1，
∴AF=2；
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=

5

；
∴∠BPC=135°，正方形邊長為

5

．
答：（3）∠BPC的度數(shù)是135°；

（4）正方形ABCD的邊長是

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)勾股定理及逆定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，正確作輔助線并能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．