Question

已知：如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，DE、DF分別交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．
（1）如果CA=CB，求證：AE²+BF²=EF²；
（2）如圖2，如果CA＜CB，（1）中結(jié)論AE²+BF²=EF²還能成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AM∥BC，交FD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接EM，通過(guò)證明AM=BF，EF=EM即可得出答案；
（2）延長(zhǎng)FD至M，使DM=DF，連接AM、EM，根據(jù)（1）通過(guò)證明AM=BF，EF=EM即可得出答案．
解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AM∥BC，交FD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
連接EM．
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，MD=DF．
又DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE²+BF²=AE²+AM²=EM²=EF²．（3分）


（2）成立．
證明：延長(zhǎng)FD至M，使DM=DF，連接AM、EM．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，∠MAD=∠B．
∴AM∥BC．∴∠MAE=∠ACB=90°．
又DE⊥DF，MD=FD，∴EF=EM．
∴AE²+BF²=AE²+AM²=EM²=EF²（7分）
（說(shuō)明：本題提供的兩種證法對(duì)（1）、（2）兩問(wèn)均適用）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理與全等三角形的判定與性質(zhì)，有一定難度，關(guān)鍵是正確作出輔助線．