Question

（2009•東城區(qū)二模）點(diǎn)A、B、C在同一直線上，在直線AC的同側(cè)作△ABE和△BCF，連接AF，CE．取AF、CE的中點(diǎn)M、N，連接BM，BN，MN．
（1）若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且∠ABE=∠FBC=90°（圖1），則△MBN是______三角形；
（2）在△ABE和△BCF中，若BA=BE，BC=BF，且∠ABE=∠FBC=α，（圖2），則△MBN是______三角形，且∠MBN=______；
（3）若將（2）中的△ABE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，（圖3），其他條件不變，那么（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出你的證明；若不成立，寫出正確的結(jié)論并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可知△ABF，△EBC的關(guān)系可看作△EBC是由△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到的，所以BM=BN，BM⊥BN，即△MBN是等腰直角三角形；
（2）根據(jù)題意可知△ABF≌△EBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知對(duì)應(yīng)中線相等，所以MB=NB，即△MBN是等腰三角形，所以△BMN∽△BEA，則∠MBN=∠ABE=∠FBC=α；
（3）結(jié)論仍然成立，先根據(jù)條件證明△ABF≌△EBC，得到AF=CE．∠AFB=∠ECB，從而證明△MFB≌△NCB，所以BM=BN，∠MBF=∠NBC，則∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α．
解答：解：（1）∵BM=BN，BM⊥BN，
∴△MBN是等腰直角三角形；

（2）∵∠ABE=∠FBC=α，
∴∠ABF=∠EBC，
又∵BA=BE，BC=BF，
∴△ABF≌△EBC，
∴MB=NB，即△MBN是等腰三角形，
∴△BMN∽△BEA，則∠MBN=∠ABE=∠FBC=α；

（3）結(jié)論仍然成立．
證明：在△ABF和△EBC中，
（SAS），
∴△ABF≌△EBC，
∴AF=CE，∠AFB=∠ECB．
∵M(jìn)，N分別是AF、CE的中點(diǎn)，
∴FM=CN，
∴△MFB≌△NCB，
∴BM=BN，∠MBF=∠NBC，
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理并會(huì)靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．