Question

（2013•雨花臺區(qū)一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)P沿射線BO以每秒2個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從A到O以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)O時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．

（1）設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t秒，M為PQ的中點(diǎn)，請用t表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)為

（4-t，3-

1

2

t）

；
（2）設(shè)△BPM的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值為多少？
（3）請畫出M點(diǎn)的運(yùn)動路徑，并說明理由；
（4）若以A為圓心，AQ為半徑畫圓，t為何值時(shí)⊙A與點(diǎn)M的運(yùn)動路徑只有一個(gè)交點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）求得P、Q的坐標(biāo)，根據(jù)M是PQ的中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)即可求解；
（2）求出BP的長，△BPQ中BP邊上的高是M的縱坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值；
（3）根據(jù)M的坐標(biāo)的關(guān)系確定M所在的函數(shù)解析式，即可確定所在的圖形；
（4）⊙A與點(diǎn)M的運(yùn)動路徑只有一個(gè)交點(diǎn)，則⊙A與射線y=

1

2

x相切，則△OAE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的邊角關(guān)系即可列方程求解．

解答：解：（1）∵OP=8-2t，OQ=6-t
又∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4-t，3-

1

2

t）；

（2）BP=2t，M的縱坐標(biāo)是：3-

1

2

t，
則S=

1

2

•2t•（3-

1

2

t），
即S=-

1

2

t²+3t=-

1

2

（t-3）²+

9

2

，
則當(dāng)t=3時(shí)，S有最大值是

9

2

；

（3）∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（4-t，3-

1

2

t），
∴M在y=

1

2

x+1上，即運(yùn)動的路徑是y=

1

2

x+1（x≥0）；

（4）⊙A與點(diǎn)M的運(yùn)動路徑只有一個(gè)交點(diǎn)，則⊙A與射線y=

1

2

x+1相切，
∴A到直線的距離為AQ=t，
設(shè)切點(diǎn)為E，
則cos∠AOE=

t

5

=

2

5

，
解得：t=2

5

．

點(diǎn)評：本題考查了圓與直線的位置關(guān)系，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，正確確定M運(yùn)動的路徑是射線，是解題的關(guān)鍵．