Question

已知關(guān)于x的方程4x²-8nx-3n=2和x²-（n+3）x-2n²+2=0．問是否存在這樣的n的值，使第一個方程的兩個實數(shù)根的差的平方等于第二個方程的一整數(shù)根？若存在，求出這樣的n值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：先根據(jù)根的判別式來確定方程（1）是否有實數(shù)根；然后再由根與系數(shù)的關(guān)系用n來表示兩個實數(shù)根的差的平方；最后，根據(jù)解得的第二個方程的兩根，并由已知條件來求n的值．

解答：解：由△₁=（-8n）²-4×4×（-3n-2）=（8n+3）²+23＞0，知n為任意實數(shù)時，方程（1）都有實數(shù)根．
設(shè)第一個方程的兩根為α、β．則α+β=2n，αβ=

-3n-2

4

．
于是，（α-β）²=（α+β）²-4αβ，
=4n²+3n+2；
由第二個方程得
[x-（2n+2）][x+（n-1）]=0，
解得兩根為x₁=2n+2，x₂=-n+1；
若x₁為整數(shù)，則4n²+3n+2=2n+2．
于是n₁=0，n₂=-

1

4

．
當(dāng)n=0時，x₁=2是整數(shù)；
n=-

1

4

時，x=

3

2

不是整數(shù)，舍去．
若x₂為整數(shù)，則4n²+3n+2=1-n．
有n₃=n₄=-

1

2

．此時x₂=

3

2

不是整數(shù)，舍去．
綜合上述知，當(dāng)n=0時，第一個方程的兩個實數(shù)根的差的平方等于第二個方程的一個整數(shù)根．

點評：本題主要考查了利用根與系數(shù)是關(guān)系及一元二次方程的根的判別式來解答一元二次方程的整數(shù)根與有理根．