Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，以AB上一點(diǎn)O為圓心，AD為弦作⊙O．
（1）在圖中作出⊙O（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）求證：BC為⊙O的切線(xiàn)；
（3）若AC=3，tanB=

3

4

，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳D是弦，所以圓心O即在A(yíng)B上，也在A(yíng)D的垂直平分線(xiàn)上；
（2）因?yàn)镈在圓上，所以只要能證明OD⊥BC就說(shuō)明BC為⊙O的切線(xiàn)；
（3）根據(jù)∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再結(jié)合三角形相似就可求出圓的半徑的長(zhǎng)度．

解答：（1）解：如圖，（2分）

（2）證明：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥AC．（3分）
又∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，（5分）
∴BC是⊙O的切線(xiàn)；（6分）

（3）解：在Rt△ABC中，AC=3，tanB=

3

4

．
∴BC=4，
∴AB=

32+42

=5，（7分）
∵OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC，（8分）
所以

OB

AB

=

OD

AC

，

5-OA

5

=

OA

3

，
∴OA=OD=

15

8

，
∴⊙的半徑為

15

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線(xiàn)的判定，解直角三角形和相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用．