(A題)某市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)建有B、C、D三個(gè)食品加工廠,這三個(gè)工廠和開發(fā)區(qū)A處的自來水廠正好在一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)上,它們之間有公路相通,且AB=CD=900米,AD=BC=1700米.自來水公司已經(jīng)修好一條自來水主管道AN,BC兩廠之間的公路與自來水管道交于E處,EC=500米.若自來水主管道到各工廠的自來水管道由各廠負(fù)擔(dān),每米造價(jià)800元.
(1)要使修建自來水管道的造價(jià)最低,這三個(gè)工廠的自來水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)并在圖形中畫出;
(2)求出各廠所修建的自來水管道的最低的造價(jià)各是多少元?

(B題)如圖,已知平行四邊形ABCD及四邊形外一直線l,四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D到直線l的距離分別為a、b、c、d.
(1)觀察圖形,猜想得出a、b、c、d滿足怎樣的關(guān)系式?證明你的結(jié)論.
(2)現(xiàn)將l向上平移,你得到的結(jié)論還一定成立嗎?請(qǐng)分情況寫出你的結(jié)論.精英家教網(wǎng)
分析:A:(1)根據(jù)“垂線段最短”即可畫出使修建自來水管道的造價(jià)最低時(shí),這三個(gè)工廠的自來水管道路線;
(2)根據(jù)勾股定理和直角三角形的面積公式求得BH的長(zhǎng),根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等分別求得CF,DG的長(zhǎng),再根據(jù)每米造價(jià)800元求得價(jià)錢.
B:(1)此題可以連接平行四邊形的對(duì)角線,交點(diǎn)是O.作OO1⊥l于O1.根據(jù)梯形的中位線定理得到2OO1=DD1+BB1=b+d=AA1+CC1=a+c.
(2)將l向上平移,分別有直線l過B點(diǎn)時(shí);直線l過B點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí);直線l過D點(diǎn)時(shí);直線l過C點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí);直線l過C點(diǎn)時(shí);直線l過C點(diǎn)上方時(shí).結(jié)合三角形的中位線定理和梯形的中位線定理進(jìn)行分析.
解答:精英家教網(wǎng)(A題)解:(1)過B、C、D分別作AN的垂線段BH、CF、DG,交AN于H、F、G,BH、CF、DG即為所求的造價(jià)最低的管道路線.
圖形如圖所示.(3分)

(2)(法一)BE=BC-CE=1700-500=1200(米),
AE=
AB2+BE2
=1500(米),
∵△ABE∽△CFE,
得到:
CF
AB
=
CE
AE

∴CF=
CE•AB
AE
=
500×900
1500
=300(米).(5分)
∵△BHE∽△CFE,
得到
CF
BH
=
CE
BE
,
∴BH=
BE•CF
CE
=
1200×300
500
=720(米).(6分)
∵△ABE∽△DGA,
AB
DG
=
AE
AD

∴DG=
AB•AD
AE
=
900×1700
1500
=1020(米).(9分)
所以,B、C、D三廠所建自來水管道的最低造價(jià)分別是
720×800=576000(元),300×800=240000(元),1020×800=816000(元)    (10分)
法二(設(shè)∠AEB=∂,利用三角函數(shù)可求得BH、CF、DG的長(zhǎng))


(B題)(1)a+c=b+d.(2分)
證明:連接AC、BD,且AC、BD相交于點(diǎn)O,OO1為點(diǎn)O到l的距離,
∴OO1為直角梯形BB1D1D的中位線,
∴2OO1=DD1+BB1=b+d;
同理:2OO1=AA1+CC1=a+c.
∴a+c=b+d    (4分)

(2)不一定成立(5分)
分別有以下情況:
直線l過A點(diǎn)時(shí),c=b+d;
直線l過A點(diǎn)與B點(diǎn)之間時(shí),c-a=b+d;
直線l過B點(diǎn)時(shí),c-a=d;
直線l過B點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí),a-c=b-d;
直線l過D點(diǎn)時(shí),a-c=b;
直線l過C點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí),a-c=b+d;
直線l過C點(diǎn)時(shí),a=b+d;
直線l過C點(diǎn)上方時(shí),a+c=b+d.     (10分)
精英家教網(wǎng)
點(diǎn)評(píng):A中,考查了垂線段最短的性質(zhì)以及運(yùn)用勾股定理、直角三角形的面積和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的方法;
B中,主要是運(yùn)用了梯形的中位線定理和三角形的中位線定理.
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(1)要使修建自來水管道的造價(jià)最低,這三個(gè)工廠的自來水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)并在圖形中畫出;
(2)求出各廠所修建的自來水管道的最低的造價(jià)各是多少元?

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(1)觀察圖形,猜想得出a、b、c、d滿足怎樣的關(guān)系式?證明你的結(jié)論.
(2)現(xiàn)將l向上平移,你得到的結(jié)論還一定成立嗎?請(qǐng)分情況寫出你的結(jié)論.

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