【題目】如圖,在直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點M.
(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點N,使△NAC的面積最大?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣x+4,對稱軸是:直線x=3;(2)P點坐標為(3, ),
理由見解析;(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N(,﹣3),使△NAC面積最大.
【解析】(1)根據(jù)已知條件可設拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-5).
把點A(0,4)代入上式,解得a=.
∴y= (x-1)(x-5)=x2-x+4= (x-3)2-.
∴拋物線的對稱軸是x=3.
(2)存在,P點的坐標是(3, ).如圖1,連接AC交對稱軸于點P,連接BP,AB.
∵點B與點C關于對稱軸對稱,
∴PB=PC.
∴AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC.
∴此時△PAB的周長最。
設直線AC的解析式為y=kx+b.把A(0,4),C(5,0)代入y=kx+b,得
解得
∴y=-x+4.
∵點P的橫坐標為3,
∴y=-×3+4=.
∴P(3, ).
(3)在直線AC下方的拋物線上存在點N,使△NAC的面積最大.
如圖2,設N點的橫坐標為tt,此時點N(t, t2-t+4)(0<t<5).
過點N作y軸的平行線,分別交x軸,AC于點F,G,過點A作AD⊥NG,垂足為D.
由(2)可知直線AC的解析式為y=-x+4.
把x=t代入y=-x+4,得y=-t+4.
∴G(t,- t+4).
∴NG=-t+4-(t2-t+4)=-t2+4t.
∵AD+CF=OC=5,
∴S△NAC=S△ANG+S△CGN=NG·AD+NG·CF=NG·OC
=×(-t2+4t)×5=-2t2+10t=-2(t-)2+.
∵當t=時,△NAC面積的最大值為.
由t=,得y=×()2-×+4=-3.
∴N(,-3).
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【題目】將九年級部分男生擲實心球的成績進行整理,分成5個小組(x表示成績,單位:米).A組:5.25≤x<6.25;B組:6.25≤x<7.25;C組:7.25≤x<8.25;D組:8.25≤x<9.25;E組:9.25≤x<10.25,并繪制出扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖(不完整).規(guī)定x≥6.25為合格,x≥9.25為優(yōu)秀.
(1)這部分男生有多少人?其中成績合格的有多少人?
(2)這部分男生成績的中位數(shù)落在哪一組?扇形統(tǒng)計圖中D組對應的圓心角是多少度?
(3)要從成績優(yōu)秀的學生中,隨機選出2人介紹經(jīng)驗,已知甲、乙兩位同學的成績均為優(yōu)秀,求他倆至少有1人被選中的概率.
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【題目】對于任意實數(shù)a、b,定義:a◆b=a2+ab+b2.若方程(x◆2)-5=0的兩根記為m、n,則m2+n2=______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,點D為AC上一點,且BD=BC.將△BCD沿直線BD折疊后,點C落在AB上的點E處,若AE=DE,則∠A的度數(shù)為 .
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【題目】如圖,已知直線l1:y=x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,與直線l2:y=﹣ x交于點P.直線l3:y=﹣ x+4與x軸交于點C,與y軸交于點D,與直線l1交于點Q,與直線l2交于點R.
(1)點A的坐標是 , 點B的坐標是 , 點P的坐標是;
(2)將△POB沿y軸折疊后,點P的對應點為P′,試判斷點P′是否在直線l3上,并說明理由;
(3)求△PQR的面積.
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【題目】計算:
(1)(﹣2)+(﹣3)﹣(+1)﹣(﹣6)
(2)2×(﹣3)﹣48÷(﹣6)
(3)﹣5 ﹣(﹣ )+7 +(﹣2.25)
(4)﹣5×(﹣3)2﹣1÷(﹣0.5)
(5)﹣14+24×(﹣ + )
(6)(﹣1)5×[﹣4﹣(﹣2)3]+3÷(﹣ )
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