Question

已知：如圖所示，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=

m

x

（x＞0，m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（1，4）、點B（a，b），其中a＞1，直線AB交y軸于點E．過點A作x軸的垂線，垂足為C，過點B作y軸的垂線，垂足為D，AC與BD相交于點M，連接DC．
（1）求m的值；
（2）求證：四邊形ACDE為平行四邊形；
（3）若AB=CD，求直線AB的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）直接將A的值代入函數(shù) y=

k

x

中，即可得出k的值，便可得出解析式；
（2）通過求點E的坐標求得線段OE的長等于ED的長，然后利用對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形來判定平行四邊形．
（3）利用證得的平行四邊形的性質(zhì)證得AE為中位線求得點B的坐標，然后用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=

m

x

經(jīng)過點A（1，4），
∴4=

m

1

（1分），
∴m=4，

（2）設直線AB的解析式為y=kx+n，
∵直線AB經(jīng)過點A（1，4），B（a，b），（2分）
∴

4=k+n b=ak+n

，
解得：k=

b-4

a-1

，n=

4a-b

a-1

，
∴y=

b-4

a-1

x+

4a-b

a-1

（3分），
∴E(0，

4a-b

a-1

)，即OE=

4a-b

a-1

，
又∵BD⊥y軸，
∴OD=b（4分）
∴ED=

4a-b

a-1

-b=

4a-ab

a-1

，
又∵點B（a，b）在函數(shù)y=

m

x

上，
∴ab=m=4（5分），
∴ED=

4a-ab

a-1

=

4a-4

a-1

=4，
又∵AC⊥x軸，
∴AC=4（6分），
∴AC∥ED，AC=ED，
∴四邊形ACDE為平行四邊形；

（3）∵四邊形ACDE為平行四邊形，
∴AE=CD，
又∵AB=CD（7分），
∴AE=AB，
過點A作AF⊥y軸，則AF∥DB，AF=1，
∴AF為△EBD的中位線（8分），
BD=2AF=2，即a=2（9分），
∵ab=4，∴b=2，
將a=2，b=2代入y=

b-4

a-1

x+

4a-b

a-1

中得y=-2x+6，
∴直線AB的函數(shù)解析式為y=-2x+6．（10分）

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識，其中滲透了平行四邊形的判定和性質(zhì)，是一道難度較大的反比例函數(shù)綜合題．