Question

已知△ABC，
（1）如圖1，若D點(diǎn)是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，BD、CD分別為∠ABC、∠ACB的角平分線． 則∠D、∠A的關(guān)系為______．
（2）若D點(diǎn)是△ABC外一點(diǎn)，位置如圖2所示．BD、CD分別為∠FBC、∠ECB的角平分線． 則∠D、∠A的關(guān)系為______．
（3）若D點(diǎn)是△ABC外一點(diǎn)，位置如圖3所示．BD、CD分別為∠ABC、∠ECA的角平分線． 則∠D、∠A的關(guān)系為______．

Answer 1

解：（1）：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，
∴∠BDC=90°-∠A，即∠D=90°-∠A．

（2）：∵BD、CD分別是∠CBE、∠BCF的平分線
∴∠DBC=∠EBC，∠BCD=∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的兩個外角
∴∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD=（∠EBC+∠BCD）=（180°+∠A）=90°+∠A，
在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）=180°-（90°+∠A）=90°-∠A，即∠D=90°-∠A．

（3）∵BD、CD分別為∠ABC、∠ECA的角平分線，
∴∠1=∠DBC=∠ABC，∠2=∠DCE=（∠A+∠ABC），
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D=∠DCE-∠DBC
=∠DCE-∠1
=∠ACE-∠ABC
=（∠A+∠ABC）-∠ABC
=∠A．
故答案為：∠D=90°-∠A；∠D=90°-∠A；∠D=∠A．
分析：（1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠DBC、∠DCB與∠A的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；
（2）先根據(jù)BD、CD分別是∠CBE、∠BCF的平分線可知∠DBC=∠EBC，∠BCD=∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的兩個外角得出∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，故∠DBC+∠BCD=（∠EBC+∠BCD）=（180°+∠A）=90°+∠A，根據(jù)在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)BD、CD分別為∠ABC、∠ECA的角平分線可知∠1=∠DBC=∠ABC，∠2=∠DCE，再由∠DCE是△BCD的外角得出∠DCE=∠D+∠DBE，再根據(jù)∠ACE是△ABC的外角即可得出∠ACE=∠A+∠ABC由此即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．