Question

（2012•集美區(qū)一模）已知拋物線(xiàn)y=x²-2x+c（c＜0）的頂點(diǎn)為M，與y軸相交于點(diǎn)C，A（m，

m

2

-c）是直線(xiàn)MC上的點(diǎn)
（1）若點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B恰好在拋物線(xiàn)上，求拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在（1）的條件下，若C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，在拋物線(xiàn)y=x²-2x+c（c＜0）上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先用c表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)MC的表達(dá)式，已知點(diǎn)A（m，

m

2

-c）在直線(xiàn)MC上，且點(diǎn)B（-m，

m

2

-c）在拋物線(xiàn)上，通過(guò)聯(lián)立方程組即可求出m、c的值．
（2）由于四邊形的四頂點(diǎn)排序沒(méi)有明確，所以要分情況進(jìn)行討論，通過(guò)題意不難得出點(diǎn)C、N都在y軸上，所以：
①當(dāng)CN為平行四邊形的邊時(shí)，那么AP與CN平行且相等，所以將點(diǎn)A向上或向下平移CN長(zhǎng)個(gè)單位即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)（有兩個(gè)）；
②當(dāng)CN為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，由于平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，且C、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)A、P必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則P點(diǎn)坐標(biāo)可求．

解答：解：（1）由y=x²-2x+c=（x-1）²+c-1（c＜0）知，M（1，c-1）、C（0，c）；
設(shè)直線(xiàn)MC的解析式：y=kx+b，則有：

k+b=c-1 b=c

，
解得

k=-1 b=c

故直線(xiàn)MC：y=-x+c；
∵A（m，

m

2

-c）是直線(xiàn)MC上的點(diǎn)，
∴

m

2

-c=-m+c…①
∵點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B（-m，

m

2

-c）在拋物線(xiàn)上，
∴

m

2

-c=m²-2（-m）+c…②
聯(lián)立①②，解得：

m1=0 c1=0

（舍），

m2=-3 c2=- 9 4

故拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)式：y=x²-2x-

9

4

．

（2）假設(shè)存在符合題意的平行四邊形；
由（1）知，A（-3，

3

4

）、C（0，-

9

4

）、N（0，

9

4

）；
①當(dāng)CN為平行四邊形的邊時(shí)，CN

∥

.

AP，已知：CN=

9

2

，則有：
將點(diǎn)A向上平移

9

2

個(gè)單位，得 P₁（-3，

21

4

）；
將點(diǎn)A向下平移

9

2

個(gè)單位，得 P₂（-3，-

15

4

）；
②當(dāng)CN為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)A、P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
則 P₃（3，-

3

4

）；
又∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-

3

4

），
，綜上當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-

3

4

）時(shí)，以A、C、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，在平行四邊形的四頂點(diǎn)排序不確定的情況下，一定要分類(lèi)進(jìn)行討論．