Question

【題目】已知：△ABC內接于⊙O，點D為弧AB上一點，連接AD，BD，且AC=BD．

（1）如圖1，求證：AD∥BC；

（2）如圖2，點E為BC上一點，連接AE并延長交⊙O于點F，連接DF分別交AB，BC于點G，H，∠BAD+∠CAF=∠BGH，求證：AD=AG；

（3）如圖3，在（2）的條件下，當∠BAF=60°，AE=EF，BH=6時，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）7．

【解析】

（1）由AC=BD推出，進一步推出∠ABC=∠DAB，由平行線的判定即可寫出結論； （2）如圖2，連接BF，先證∠FBG=∠BGF，再證∠FDA=∠AGD，即可得出結論； （3）如圖3，延長BD、FA交于點M，過點B作BN⊥AF于點N，先證AD=AG，AD=AM，BE=EM，再證△FEH∽△FAD，推出AD=2HE，設HE=，則AD=，AG=AM=，BE=BH+HE=，所以BA=BG+GA=，EA=EM-AM=，在Rt△ABN中，求出AN=AB=，BN=AN=，所以NE=EM-AM-AN=，最后在Rt△BNE中，由可求出的值，即可寫出BE的長．

（1）證明：∵AC=BD，∴，

∴∠ABC=∠DAB，∴AD∥BC；

（2）如圖2，連接BF，因為，則∠CAF=∠CBF．

， ∠BAD=∠ABC，

∴∠BAD+∠CAF=∠CBF+∠ABC=∠FBG．

∵∠BAD+∠CAF=∠BGF，∴∠FBG=∠BGF．

∵∠FBG=∠FDA，∠BGF=∠AGD，

∴∠FDA=∠AGD，∴AD=AG；

（3）如圖3，延長BD、FA交于點M，過點B作BN⊥AF于點N．

∵，∴∠BDF=∠BAF=60°，

設∠DAG=2α．

∵AD=AG，∴∠ADG=90°﹣α，∠DAM=120°﹣2α，∴∠ADM=30°+α，∴∠DMA=∠ADM=30°+α，∴AD=AM．

∵AD∥BC，∴∠ADM=∠EBD，∴∠EBD=∠DMA，∴BE=EM．

∵，∠BGH=∠BHG，∴BG=BH=6．

∵AD∥BC，∴△FEH∽△FAD，∴．

∵AE=EF，∴，∴，∴AD=2HE，

設HE=x，則AD=2x，AG=AM=2x，BE=BH+HE=6+x，

∴BA=BG+GA=6+2x，EA=EM﹣AM=6﹣x，

在Rt△ABN中，∠BAN=60°，∠ABN=30°，

∴，，

∴NE=EM﹣AM﹣AN=3﹣2x，

在Rt△BNE中，BN2+NE2=BE2，

即，

解得：（取正值），∴．