Question

在一次數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)課上，師生有下面的一段對話，請你閱讀完后再解答問題．
老師：同學(xué)們，今天我們來探索如下方程的解法：（x²-x）²-（x²-x）+12=0
學(xué)生甲：老師，這個(gè)方程先去括號，再合并同類項(xiàng)，行嗎？
老師：這樣，原方程可整理為x⁴-2x³-7x²+8x+12=0，次數(shù)變成了4次，用現(xiàn)有知識無法解答．同學(xué)們再觀察觀察，看看這個(gè)方程有什么特點(diǎn)？
學(xué)生乙：老師，我發(fā)現(xiàn)x²-x是整體出現(xiàn)的，最好不要去括號！
老師：很好，我們把x²-x看成一個(gè)整體，用y表示，即x²-x=y，那么原方程就變?yōu)閥²+8y+12=0．
全體學(xué)生：（同學(xué)們都特別高興）噢，這不是我們熟悉的一元二次方程嗎？！
老師：大家真會觀察和思考，太棒了！顯然一元二次方程y²+8y+12=0的根是y₁=6，y₂=2，那么就有x²-x=6或x²-x=2．
學(xué)生丙：對啦，再解這兩個(gè)方程，可得原方程的根x₁=3，x₂=-2，x₃=2，x₄=-1，嗬，有這么多根��！
老師：同學(xué)們，通常我們把這種方法叫做換元法．在這里使用它的最大妙處在于降低了原方程的次數(shù)，這是一種重要的轉(zhuǎn)化方法．
全體同學(xué)：OK，換元法真神奇！
現(xiàn)在，請你用換元法解下列分式方程：(

x

x-1

)2-5(

x

x-1

)-6=0．

Answer 1

分析：可設(shè)y=

x

x-1

，則原方程化為y²-5y-6=0，可解得，y₁=6，y₂=-1，即

x

x-1

=6，

x

x-1

=-1，解出x的值，驗(yàn)根即可．

解答：解：設(shè)y=

x

x-1

，則原方程化為y²-5y-6=0，
解關(guān)于y的一元二次方程得：y₁=6，y₂=-1，
將y=6代入y=

x

x-1

中，x₁=

6

5

，
將y=-1代入y=

x

x-1

中，x₂=

1

2

，
將x₁=

6

5

，x₂=

1

2

代入原方程檢驗(yàn)知，它們均為原方程的根．
∴方程(

x

x-1

)2-5(

x

x-1

)-6=0的解為x₁=

6

5

，x₂=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了換元法解分式方程，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據(jù)方程特點(diǎn)設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗(yàn)根．