【題目】如圖1所示,已知拋物線y=-x2+4x+5的頂點(diǎn)為D,與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),E為對稱軸上的一點(diǎn),連接CE,將線段CE繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在y軸上.
(1)直接寫出D點(diǎn)和E點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)F為直線C′E與已知拋物線的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)H是拋物線上C與F之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若過點(diǎn)H作直線HG與y軸平行,且與直線C′E交于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m(0<m<4),那么當(dāng)m為何值時(shí),S△HGF:S△BGF=5:6?
(3)圖2所示的拋物線是由y=-x2+4x+5向右平移1個(gè)單位后得到的,點(diǎn)T(5,y)在拋物線上,點(diǎn)P是拋物線上O與T之間的任意一點(diǎn),在線段OT上是否存在一點(diǎn)Q,使△PQT是等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1) D點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,9),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,3).(2) m1=,m2=.(3) (1,1)或(3,3)或(2,2).
【解析】
試題分析:(1)首先根據(jù)拋物線y=-x2+4x+5的頂點(diǎn)為D,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是多少即可;然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,m),點(diǎn)C′的坐標(biāo)是(0,n),根據(jù)△CEC′是等腰直角三角形,求出E點(diǎn)的坐標(biāo)是多少即可.
(2)令拋物線y=-x2+4x+5的y=0得:x2-4x-5=0可求得A、B的坐標(biāo),然后再根據(jù)S△HGF:S△BGF=5:6,得到:,然后再證明△HGM∽△ABN,,從而可證得,所以HG=5,設(shè)點(diǎn)H(m,-m2+4m+5),G(m,m+1),最后根據(jù)HG=5,列出關(guān)于m的方程求解即可;
(3)分別根據(jù)∠P、∠Q、∠T為直角畫出圖形,然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可.
試題解析:(1)∵拋物線y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,9);
∵E為對稱軸上的一點(diǎn),
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是:-=2,
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,m),點(diǎn)C′的坐標(biāo)是(0,n),
∵將線段CE繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在y軸上,
∴△CEC′是等腰直角三角形,
∴
解得或(舍去),
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,3),點(diǎn)C′的坐標(biāo)是(0,1).
綜上,可得D點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,9),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,3).
(2)如圖1所示:
令拋物線y=-x2+4x+5的y=0得:x2-4x-5=0,
解得:x1=-1,x2=5,
所以點(diǎn)A(-1,0),B(5,0).
設(shè)直線C′E的解析式是y=kx+b,將E(2,3),C′(0,1),代入得
,
解得:,
∴直線C′E的解析式為y=x+1,
將y=x+1與y=-x2+4x+5,聯(lián)立得:
,
解得:,,
∴點(diǎn)F得坐標(biāo)為(4,5),點(diǎn)A(-1,0)在直線C′E上.
∵直線C′E的解析式為y=x+1,
∴∠FAB=45°.
過點(diǎn)B、H分別作BN⊥AF、HM⊥AF,垂足分別為N、M.
∴∠HMN=90°,∠ADN=90°.
又∵∠NAD=∠HNM=45°.
∴△HGM∽△ABN
∴,
∵S△HGF:S△BGF=5:6,
∴.
∴,即,
∴HG=5.
設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為-m2+4m+5,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m,m+1),
∴-m2+4m+5-(m+1)=5.
解得:m1=,m2=.
(3)由平移的規(guī)律可知:平移后拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4(x-1)+5=-x2+6x.
將x=5代入y=-x2+6x得:y=5,
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為(5,5).
設(shè)直線OT的解析式為y=kx,將x=5,y=5代入得;k=1,
∴直線OT的解析式為y=x,
①如圖2所示:當(dāng)PT∥x軸時(shí),△PTQ為等腰直角三角形,
將y=5代入拋物線y=-x2+6x得:x2-6x+5=0,
解得:x1=1,x2=5.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,5).
將x=1代入y=x得:y=1,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,1).
②如圖3所示:
由①可知:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,5).
∵△PTQ為等腰直角三角形,
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3,
將x=3代入y=x得;y=3,
∴點(diǎn)Q得坐標(biāo)為(3,3).
③如圖4所示:
設(shè)直線PT解析式為y=kx+b,
∵直線PT⊥QT,
∴k=-1.
將k=-1,x=5,y=5代入y=kx+b得:b=10,
∴直線PT的解析式為y=-x+10.
將y=-x+10與y=-x2+6x聯(lián)立得:x1=2,x2=5
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2.
將x=2代入y=x得,y=2,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,2).
綜上所述:點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,1)或(3,3)或(2,2).
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