Question

【題目】如圖，AB是⊙O直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，AT平分∠BAD交⊙O于點(diǎn)T，過T作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．

（1）求證：CT為⊙O的切線；

（2）若⊙O半徑為2，CT=，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）2．

【解析】

試題分析：（1）連接OT，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，以及直角三角形的兩個(gè)銳角互余，證得CT⊥OT，CT為⊙O的切線；

（2）證明四邊形OTCE為矩形，求得OE的長(zhǎng)，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．

試題解析：（1）連接OT，

∵OA=OT，

∴∠OAT=∠OTA，

又∵AT平分∠BAD，

∴∠DAT=∠OAT，

∴∠DAT=∠OTA，

∴OT∥AC，

又∵CT⊥AC，

∴CT⊥OT，

∴CT為⊙O的切線；

（2）過O作OE⊥AD于E，則E為AD中點(diǎn)，

又∵CT⊥AC，

∴OE∥CT，

∴四邊形OTCE為矩形，

∵CT=，∴OE=，

又∵OA=2，

∴在Rt△OAE中，AE=1．∴AD=2AE=2．