Question

在△ABC中，AB≠AC，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）如圖1，寫出圖中所有的等腰三角形．猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關系，并說明理由．
（2）如圖2，△ABC中∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們．寫出EF與BE、CF關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根據角平分線性質和平行線性質推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根據等角對等邊推出即可；根據BE=OE，CF=OF即可得出EF與BE、CF之間的關系；
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根據角平分線性質和平行線性質推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根據等角對等邊推出即可；根據BE=OE，CF=OF即可得出EF與BE、CF之間的關系．

解答：解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形
即圖中等腰三角形有△BEO，△CFO；
EF與BE、CF之間的關系是EF=BE+CF，
理由是：∵BE=OE，CF=OF，
∴EF=BE+CF．

（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCG，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形
即圖中等腰三角形有△BEO，△CFO；
EF與BE、CF之間的關系是EF=BE-CF，
理由是：∵BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE-OF=BE-CF．

點評：本題考查了角平分線定義，平行線的性質，等腰三角形的判定等知識點，關鍵是推出BE=OE，CF=OF．