Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、C，與y軸相交于點(diǎn)B，A（-

9

4

，0），且△AOB∽△BOC．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)、∠ABC的度數(shù)及二次函數(shù)y=ax²+bx+3的關(guān)系式；
（2）在線段AC上是否存在點(diǎn)M（m，0）．使得以線段BM為直徑的圓與邊BC交于P點(diǎn)（與點(diǎn)B不同），且以點(diǎn)P、C、O為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)y=ax²+bx+3的解析式，首先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后由△AOB∽△BOC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求出OC的長度，得出C點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠OAB=∠OBC，從而得出∠ABC=90°；由y=ax²+bx+3圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-

9

4

，0），C（4，0），運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）如果以點(diǎn)P、C、O為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么分三種情況討論：①CP=CO；②PC=PO；③OC=OP．針對(duì)每一種情況，都應(yīng)首先判斷M點(diǎn)是否在線段AC上，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出m的值．

解答：解：（1）由題意，得B（0，3），
∵△AOB∽△BOC，
∴∠OAB=∠OBC，
∴

OA

OB

=

OB

OC

，
∴

2.25

3

=

3

OC

，
∴OC=4，∴C（4，0）；
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBC+∠OBA=90°，
∴∠ABC=90°；
∵y=ax²+bx+3圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-

9

4

，0），C（4，0），
∴

81 16 a- 9 4 b+3=0 16a+4b+3=0

，
∴y=-

1

3

x²+

7

12

x+3；

（2）①如圖1，當(dāng)CP=CO時(shí)，點(diǎn)P在BM為直徑的圓上，
因?yàn)锽M為圓的直徑，
∴∠BPM=90°，
∴PM∥AB，
∴△CPM∽△CBA，
∴CM：CA=CP：CB，
CM：6.25=4：5，
∴CM=5，
∴m=4-5=-1；
②如圖2，當(dāng)PC=PO時(shí)，點(diǎn)P在OC垂直平分線上，
得PC=

1

2

BC=2.5，
由△CPM∽△CBA，得CM=

25

8

，
∴m=4-

25

8

=

7

8

；
③當(dāng)OC=OP時(shí)，M點(diǎn)不在線段AC上．
綜上所述，m的值為

7

8

或-1．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，探究等腰三角形的構(gòu)成情況等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．