Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC=30°，CD是⊙O的切線，E為AC延長線上一點，ED⊥AB于F．
（1）判斷△DCE的形狀；
（2）設⊙O的半徑為1，且OF=

3 -1

2

，求證：△DCE≌△OCB．

Answer 1

分析：（1）易得△AOC是正三角形，故有∠E=30°，由∠OCD=90°和平角的概念可得∠DCE=30°=∠E，所以DE=CD；進而可知此三角形為等腰三角形．
（2）由勾股定理求得BC=

3

，然后由直角三角形的性質(zhì)，求得CE=

3

，即可證得△DCE≌△OCB．

解答：（1）解：∵∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°．
又∵OA=OC，
∴△AOC是正三角形．
又∵CD是切線，
∴∠OCD=90°．
∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．
而ED⊥AB于F，
∴∠CED=90°-∠BAC=30°．
故△CDE為等腰三角形．

（2）證明：∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，
∵∠BAC=60°，AO=CO，
∴∠OCA=60°，∵∠DCE=30°．
∴A，C，E三點同線
在△ABC中，
∵AB=2，AC=AO=1，
∴BC=

22-12

=

3

．
∵OF=

3 -1

2

，
∴AF=AO+OF=

3 +1

2

．
又∵∠AEF=30°，
∴AE=2AF=

3

+1，
∴CE=AE-AC=

3

=BC，
而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC；
故△CDE≌△COB．

點評：本題利用了直徑對的圓周角是直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)求解．