Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c經過點A（-1，0）和C（0，4）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）直線y=x+1與拋物線相交于A、D兩點，點P是拋物線上一個動點，點P的橫坐標是m，且-1＜m＜3，設△ADP的面積為S，求S的最大值及對應的m值；
（3）點M是直線AD上一動點，直接寫出使△ACM為等腰三角形的點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法將A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x²+bx+c，求出即可；
（2）首先求出兩函數的交點坐標，再利用函數圖象上點的性質得出PQ=（-m²+3m+4）-（m+1）=-m²+2m+3，進而求出
S_△ADP=S_△APQ+S_△DPQ=-2m²+4m+6，再利用二次函數最值求法得出即可；
（3）根據平面內兩點之間的距離公式以及點M在函數圖象上的性質分別分析得出即可．

解答：解：（1）A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x²+bx+c，
得

-1-b+c=0 c=4

，
解得

b=3 c=4

，
∴此拋物線解析式為：y=-x²+3x+4．

（2）由題意得：

y=x+1 y=-x2+3x+4

，
解得：

x1=-1 y1=0

，

x2=3 y2=4

，
∴點D的坐標為（3，4），
過點P作PQ∥y軸，交直線AD與點Q，
∵點P的橫坐標是m，
又點P在拋物線y=-x²+3x+4
∴P的縱坐標是-m²+3m+4，點Q的橫坐標也是m，
∵點Q在直線y=x+1上，
∴Q的縱坐標是m+1，
∴PQ=（-m²+3m+4）-（m+1）=-m²+2m+3，
S_△ADP=S_△APQ+S_△DPQ，
=

1

2

(-m2+2m+3)[m-(-1)]+

1

2

(-m2+2m+3)(3-m)，
=

1

2

(-m2+2m+3)×4，
=-2m²+4m+6，
=-2（m-1）²+8，
當m=1，△ADP的面積S的最大值為8．

（3）M1(

34

2

-1，

34

2

)，M2(-

34

2

-1，-

34

2

)，M3(4，5)，M4(

7

10

，

17

10

)．

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數最值求法和平面內兩點之間的距離求法等知識，二次函數這部分經常利用數形結合以及分類討論思想相結合，綜合性較強注意不要漏解．