Question

如圖①，P為△ABC內(nèi)一點，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．
（1）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE丄CD，垂足為E．試說明E是△ABC的自相似點；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點P（寫出作法并保留作圖痕跡）；
②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似點；
②根據(jù)∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各內(nèi)角的度數(shù)．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中線，
∴CD=

1

2

AB，
∴CD=BD，
∴∠BCE=∠ABC，
∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴△BCE∽△ABC，
∴E是△ABC的自相似點；

（2）①如圖所示，
作法：①在∠ABC內(nèi)，作∠CBD=∠A，
②在∠ACB內(nèi)，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點P，
則P為△ABC的自相似點；

②∵P是△ABC的內(nèi)心，∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCB=

1

2

∠ACB，
∵△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點，
∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，
∴∠A+2∠A+4∠A=180°，
∴∠A=

180°

7

，
∴該三角形三個內(nèi)角度數(shù)為：

180°

7

，

360°

7

，

720°

7

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及三角形的內(nèi)心作法和作一角等于已知角，此題綜合性較強，注意從已知分析獲取正確的信息是解決問題的關(guān)鍵．