Question

已知AP是半圓O的直徑，點C是半圓O上的一個動點（不與點A、P重合），聯(lián)結(jié)AC，以直線AC為對稱軸翻折AO，將點O的對稱點記為O₁，射線AO₁交半圓O于點B，聯(lián)結(jié)OC．

（1）如圖1，求證：AB∥OC；
（2）如圖2，當(dāng)點B與點O₁重合時，求證：；
（3）過點C作射線AO₁的垂線，垂足為E，聯(lián)結(jié)OE交AC于F．當(dāng)AO=5，O₁B=1時，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用對稱性得出∠OAC=∠O₁AC，再利用等邊對等角得出∠OAC=∠C，即可得出∠C=∠O₁AC，求出AB∥OC即可；
（2）由點O₁與點O關(guān)于直線AC對稱，AC⊥OO₁，由點O₁與點B重合，可得AC⊥OB，再利用垂徑定理推論得出AB=CB；
（3）分別根據(jù)當(dāng)點O₁在線段AB上以及當(dāng)點O₁在線段AB的延長線上時分別求出AE的長即可得出答案．
解答：解：（1）∵點O₁與點O關(guān)于直線AC對稱，
∴∠OAC=∠O₁AC．
在⊙O中，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C．
∴∠C=∠O₁AC，
∴O₁A∥OC，
即AB∥OC；

（2）方法一：如圖2，連結(jié)OB．
∵點O₁與點O關(guān)于直線AC對稱，AC⊥OO₁，
由點O₁與點B重合，可得AC⊥OB．
∵點O是圓心，AC⊥OB，
∴AB=CB，

方法2：∵點O₁與點O關(guān)于直線AC對稱，
∴AO=AO₁，CO=CO₁，
由點O₁與點B重合，可得 AO=AB，CB=CO，
∵OA=OC，
∴AB=CB．
∴AB=CB，

（3）當(dāng)點O₁在線段AB上（如圖3），過點O作OH⊥AB，垂足為H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH∥CE，
又∵AB∥OC，
∴HE=OC=5．
∵AB=AO₁+O₁B=AO+O₁B=6，
又∵OH⊥AB，
∴AH=AB=3．
∴AE=EH+AH=5+3=8，
∵AB∥OC，
∴==，
當(dāng)點O₁在線段AB的延長線上，如圖4，
過點O作OH⊥AB，垂足為H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH∥CE，
又∵AB∥OC，
∴HE=OC=5．
∵AB=AO₁-O₁B=AO-O₁B=4，
又∵OH⊥AB，
∴AH=AB=2．
∴AE=EH+AH=5+2=7，
∵AB∥OC，
∴==．
點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及垂徑定理和關(guān)于直線對稱的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵．