Question

為了順應(yīng)市場(chǎng)要求，無為縣花炮廠技術(shù)部研制開發(fā)一種新產(chǎn)品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程．下面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該廠年初以來累積利潤(rùn)s（萬元）與銷售時(shí)間t（月）之間的關(guān)系（即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和s和t之間的關(guān)系）．根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：
（1）由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤(rùn)s（萬元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求截止到幾月末花炮廠累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬元；
（3）求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)解析式為s=at²+bt+c，列方程組，求解析式；
（2）求二次函數(shù)最大值，可以用公式法或者配方法；
（3）第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)=第8個(gè)月公司累積利潤(rùn)-第7個(gè)月公司累積利潤(rùn)．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為s=at²+bt+c
∵圖象經(jīng)過（0，0），（4，0），（2，-2）
由題意，得

0=c 0=16a+4b+c -2=4a+2b+c

解得

a= 1 2 b=-2 c=0

∴s=

1

2

t²-2t（t≥0）（本題也可以選擇其它三點(diǎn)坐標(biāo)解題）；

（2）當(dāng)s=30時(shí)，30=

1

2

t²-2t
解得t₁=-6（不合題意，舍去），t₂=10
∴截止到10月末花炮廠累積利潤(rùn)達(dá)30萬元；

（3）當(dāng)t=8時(shí)，s₁=

1

2

×8²-2×8=16（萬元）
當(dāng)t=7時(shí)，s₂=

1

2

×7²-2×7=10.5（萬元）
∴第8個(gè)月公司利潤(rùn)為s₁-s₂=16-10.5=5.5（萬元）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．