Question

已知：△ABC中，以AC、BC為邊分別向形外作等邊三角形ACD和BCE，M為CD中點，N為CE中點，P為AB中點．
（1）如圖1，當(dāng)∠ACB=120°時，∠MPN的度數(shù)為

 

；
（2）如圖2，當(dāng)∠ACB=α（0°＜α＜180°）時，∠MPN的度數(shù)是否變化？給出你的證明．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC中點G、BC中點H，連接MG、PG；NH，PH．利用中位線定理可以證明△MGP全等于△PHN，然后利用角之間的關(guān)系可以得到60°，
（2）由題意可知MF是等邊△ACD的中位線，PG是△ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)可知四邊形CFPG是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證明△MFP≌△PGN，再根據(jù)題意可得出∠MPN=60°．

解答：解：（1）設(shè)AC中點G、BC中點H，連接MG、PG；NH，PH．
由中位線定理，得MG∥AD，MG=

1

2

AD；
PG∥BC，PG=

1

2

BC；
PH∥AC，PH=

1

2

AC；
HN∥BE，HN=

1

2

BE．
∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，
∴AD=AC，BC=BE，
∠MGC=∠DAC=60°，∠CGP=∠ECB=60°，∠PHC=∠ACD=60°，∠CHN=∠CBE=60°．
在△MGP與△PHN中，

MG=PH ∠MGP=∠PHN=120° GP=HN

，
∴△MGP≌△PHN（SAS），
∴∠MPG=∠PNH．
∵∠PNH+∠NPH=180°-∠PHN=60°，
∴∠MPG+∠NPH=60°．
∠2+∠3=∠1+∠ABC=180°-∠ACB=60°，
∴∠MPN=180°-（∠MPG+∠NPH）-（∠2+∠3）=60°．
故∠MPN的度數(shù)為 60；

（2）∠MPN的度數(shù)不變，仍是60°，理由如下：
證明：取AC、BC的中點分別為F，G，
連接MF、FP、PG、GN，
∵M(jìn)F是等邊三角形ACD的中位線，
∴MF=

1

2

AD=

1

2

AC，MF∥AD，
∵PG是△ABC的中位線，
∴PG=

1

2

AC，PG∥AC，
∴MF=PG，
同理：FP=CG，
∴四邊形CFPG是平行四邊形，
∴∠CFP=∠CGP，
∴∠MFC+∠CFP=∠CGN+∠CGP，
即∠MFP=∠PGN，
∴△MFP≌△PGN（SAS），
∴∠FMP=∠GPN，
∵PG∥AC，
∴∠1=∠2，
在△MFP中，∠MFC+∠CFP+∠FMP+∠FPM=180°，
又∵∠MFC=60°，
∴∠CFP+∠FMP+∠FPM=120°，
∵∠CFP=∠1+∠3，
∴∠1+∠3+∠FMP+∠FPM=120°，
∵∠1=∠2，∠FMP=∠GPN，
∴∠2+∠3+∠GPN+∠FPM=120°，
又∵∠3+∠FPM+∠MPN+∠GPN+∠2=180°，
∴∠MPN=60°．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，中位線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，通過作輔助線來解決問題，難度較大．