Question

在直角坐標(biāo)平面中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=-x²+（k-1）x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且S_△OAB=6．
（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求此二次函數(shù)的解析式；
（3）如果點(diǎn)P在x軸上，且△ABP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）令x=0，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由△AOB的面積公式可求得OB的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可求得k的值，確定出拋物線解析式；
（3）若△ABP是等腰三角形，且點(diǎn)P在x軸上，故點(diǎn)P的位置有三種情況，由等腰三角形的性質(zhì)分別求得即可

解答：解：（1）由解析式可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4）．（1分）
∵S_△OAB=

1

2

×BO×4=6
BO=3．所以B（3，0）或（-3，0），
∵二次函數(shù)與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0）；（2分）

（2）把點(diǎn)B的坐標(biāo)（-3，0）代入y=-x²+（k-1）x+4，
得-（-3）²+（k-1）×（-3）+4=0．
解得k-1=-

5

3

．（4分）
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-x²-

5

3

x+4．（5分）

（3）因?yàn)椤鰽BP是等腰三角形，
所以：①如圖1，當(dāng)AB=AP時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）（6分）
②如圖2，當(dāng)AB=BP時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（-8，0）（8分）
③如圖，3，當(dāng)AP=BP時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0）根據(jù)題意，得

x2+42

=|x+3|．
解得x=

7

6

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

7

6

，0）（10分）
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0），（2，0），（-8，0），（

7

6

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，注意當(dāng)△ABP是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的位置有三種情況．