Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，連接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PD，PE，則PD+PE長(zhǎng)度的最小值為（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到點(diǎn)E在以BC為直徑的半圓上移動(dòng)，設(shè)BC的中點(diǎn)為O，作正方形ABCD關(guān)于直線AB對(duì)稱的正方形AFGB，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接FO交AB于P，交⊙O于E，則線段EF的長(zhǎng)即為PD+PE的長(zhǎng)度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵∠ABE=∠BCE，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴點(diǎn)E在以BC為直徑的半圓上移動(dòng)，
如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為O，作正方形ABCD關(guān)于直線AB對(duì)稱的正方形AFGB，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，
連接FO交AB于P，交半圓O于E，則線段EF的長(zhǎng)即為PD+PE的長(zhǎng)度最小值，OE=4，

∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，
∴OG=12，

（勾股定理），

∴，

∴PD+PE的長(zhǎng)度最小值為，

故選D．