Question

如圖，直線分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（﹣2，0），P是直線BC上的動點(diǎn)．

（1）求∠ABC的大小；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使∠APO=30°；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)，平移直線BC，試探索：當(dāng)BC在不同位置時，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個數(shù)是否保持不變？若不變，指出點(diǎn)P的個數(shù)有幾個？若改變，指出點(diǎn)P的個數(shù)情況，并簡要說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）60°

（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，），（1，）

（3）當(dāng)BC在不同位置時，點(diǎn)P的個數(shù)會發(fā)生改變，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個數(shù)情況有四種：1個、2個、3個、4個。理由見解析

【解析】

試題分析：（1）求得B、C的坐標(biāo)，在直角△BOC中，利用三角函數(shù)即可求解。

（2）取AC中點(diǎn)Q，以點(diǎn)Q為圓心，2為半徑長畫圓⊙Q，⊙Q與直線BC的兩個交點(diǎn)，即為所求；

（3）當(dāng)BC在不同位置時，點(diǎn)P的個數(shù)會發(fā)生改變，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個數(shù)情況有四種：1個、2個、3個、4個，如答圖2所示�！�

解：（1）在中，令x=0，得y=；令y=0，得x=2。

∴C（0，），B（2，0）�！郞C=，OB=2。

∴�！唷螦BC=60°。

（2）如答圖1，連接AC，

由（1）知∠ABC=60°，∴BC=2OB=4。

又∵AB=4，∴AB=BC。

∴△ABC為等邊三角形，AB=BC=AC=4。

取AC中點(diǎn)Q，以點(diǎn)Q為圓心，2為半徑長畫圓，與直線BC交于點(diǎn)P₁，P₂。

∵QP₁=2，QO=2，

∴點(diǎn)P₁與點(diǎn)C重合，且⊙Q經(jīng)過點(diǎn)O。

∴P₁（0，）。

∵QA=QO，∠CAB=60°，∴△AOQ為等邊三角形。

∴在⊙Q中，AO所對的圓心角∠OQA=60°。

由圓周角定理可知，AO所對的圓周角∠APO=30°，故點(diǎn)P₁、P₂符合條件。

∵QC=QP₂，∠ACB=60°，∴△P₂QC為等邊三角形。∴P₂C=QP=2。∴點(diǎn)P₂為BC的中點(diǎn)。

∵B（2，0），C（0，），∴P₂（1，）。

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，），（1，）。

（3）當(dāng)BC在不同位置時，點(diǎn)P的個數(shù)會發(fā)生改變，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個數(shù)情況有四種：1個、2個、3個、4個。如答圖2所示，

以AO為弦，AO所對的圓心角等于60°的圓共有2個，記為⊙Q，⊙Q′，點(diǎn)Q，Q′關(guān)于x軸對稱。

∵直線BC與⊙Q，⊙Q′的公共點(diǎn)P都滿足∠APO=∠AQO=∠AQ′O=30°，

∴點(diǎn)P的個數(shù)情況如下：

①有1個：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相切；

②有2個：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相交；

③有3個：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相切，同時與⊙Q（或⊙Q′）相交；直線BC過⊙Q與⊙Q′的一個交點(diǎn)，同時與兩圓都相交；

④有4個：直線BC同時與兩圓都相交，且不過兩圓的交點(diǎn)