Question

實(shí)驗(yàn)與探究
（1）在圖1、圖2、圖3中，給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)，寫出圖1、圖2、圖3中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，它們分別是

（5，2）、（e+c，d）

，

（e+c-a，d）

．
（2）在圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)（如圖所示），求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（C點(diǎn)坐標(biāo)用含a，b，c，d，e，f的代數(shù)式表示）；


歸納與發(fā)現(xiàn)
（3）通過對圖1、圖2、圖3、圖4的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無論平行四邊形ABCD處于直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，n）（如圖4）時(shí)，則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)a，c，m，e之間的等量關(guān)系為

m=c+e-a

；縱坐標(biāo)b，d，n，f之間的等量關(guān)系為

n=d+f-b

（不必證明）；
運(yùn)用與推廣
（4）在同一直角坐標(biāo)系中有雙曲線y=-

14

x

和三個(gè)點(diǎn)G(-

1

2

c，

5

2

c)，S(

1

2

c，

9

2

c)，H（2c，0）（其中c＞0）．問當(dāng)c為何值時(shí)，該雙曲線上存在點(diǎn)P，使得以G，S，H，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，得出圖2，3中頂點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是（e+c，d），（c+e-a，d）；
（2）分別過點(diǎn)A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，分別過A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點(diǎn)F．在平行四邊形ABCD中，CD=BA，根據(jù)內(nèi)角和定理，又∵BB₁∥CC₁，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依題意得出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．設(shè)C（x，y）．由e-x=a-c，得x=e+c-a．由y-f=d-b，得y=f+d-b．繼而推出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）在平行四邊形ABCD中，CD=BA，同理證明△BEA≌△CFD（同（2）證明）．然后推出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．又已知C點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），e-m=a-c，故m=e+c-a．由n-f=d-b，得出n=f+d-b．
（4）若GS為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₁（-2c，7c）．要使P₁在雙曲線上，則有-14c²=-14，求出c的實(shí)際取值以及P₁的坐標(biāo)，若SH為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₂（3c，2c），同理可得c=1，此時(shí)P₂（3，2）；若GH為平行四邊形的對角線，由（3）可得（c，-2c），同理可得c=1，此時(shí)P₃（1，-2）；故綜上所述可得解．

解答：解：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，
得出圖1、圖2，3中頂點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是：（5，2）、（e+c，d），（c+e-a，d）．
故答案為：（5，2）、（e+c，d），（c+e-a，d）．

（2）分別過點(diǎn)A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，
分別過A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點(diǎn)F．
在平行四邊形ABCD中，CD=BA，
又∵BB₁∥CC₁，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．
∴∠EBA=∠FCD．
又∵∠BEA=∠CFD=90°，
∴△BEA≌△CFD．
∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b．
設(shè)C（x，y）．
由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．
∴C（e+c-a，f+d-b）．
（此問解法多種，可參照評分）

（3）m=c+e-a，n=d+f-b或m+a=c+e，n+b=d+f．

（4）若GS為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₁（-2c，7c）．
要使P₁在雙曲線上，
則有-14c²=-14，
∴c₁=-1（根據(jù)其中c＞0，舍去），c₂=1．此時(shí)P₁（-2，7）．
若SH為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₂（3c，2c），
同理可得c=1，此時(shí)P₂（3，2）不在雙曲線上．
若GH為平行四邊形的對角線，由（3）可得（c，-2c），
同理可得c=1，此時(shí)P₃（1，-2）不在雙曲線上．
綜上所述，當(dāng)c=1時(shí)，雙曲線上存在點(diǎn)P，使得以G，S，H，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
符合條件的點(diǎn)有P₁（-2，7）．

點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)．理解平行四邊形的特點(diǎn)結(jié)合平面直角坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵．