Question

（2013•柳州二模）如圖，在⊙O中，弦CD垂直于直徑AB于點(diǎn)F，OF=3，CD=8，M是OC的中點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，DE與BC交于點(diǎn)N，
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）求證：BN=CN．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)垂徑定理求出CF的長(zhǎng)，在Rt△OCF根據(jù)勾股定理可求出OC的長(zhǎng)，故可得出AB的長(zhǎng)；
（2）連結(jié)AC，BD，根據(jù)弦CD垂直于直徑AB可知BC=BD．∠BCD=∠BDC，再由OA=OC可知∠OCA=∠OAC，由相似三角形的判定定理可知△BCD∽△OCA，所以

CB

CO

=

CD

CA

，同理可得△CDN∽△CAM，所以

CN

CM

=

CD

CA

，

CN

CM

=

CB

CO

=

CB

2CM

，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵AB是⊙O直徑，AB⊥CD，CD=8
∴CF=4                           
在Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理，得
OC²=OF²+CF²
=3²+4²
=25
∴OC=5                            
∴AB=2OC=2×5=10；
                     
（2）連結(jié)AC，BD
∵CD⊥AB，
∴BC=BD．
∴∠BCD=∠BDC．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠BDC=∠OAC，
∴∠BCD=∠OCA．
∴△BCD∽△OCA，
∴

CB

CO

=

CD

CA

，
在△CDN和△CAM中，
∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM，
∴△CDN∽△CAM
∴

CN

CM

=

CD

CA

，
∴

CN

CM

=

CB

CO

=

CB

2CM

，
∴CN=

1

2

CB，即BN=CN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理及圓周角定理等知識(shí)，難度適中．