Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（3，4）的拋物線交 y軸與A點(diǎn)，交x軸與B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－5）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線與點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C的位置關(guān)系，并給出證明．
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（１）∵拋物線的頂點(diǎn)為（3，4），∴可設(shè)此拋物線的解析式為：。
∵此拋物線過點(diǎn)A（0，－5），∴，解得。
∴此拋物線的解析式為：，即。
（２）此時(shí)拋物線的對稱軸與⊙C相離。證明如下：
令，即，得ｘ=1或ｘ=5，
∴B（1，0）,C（5，0）。
令ｘ=1，得，∴A（0，－5）。
如圖，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，作拋物線的對稱軸交ｘ軸于點(diǎn)F，

∵AB⊥BD，∴∠ABO=90⁰－∠ABO=∠CBE。
∵∠AOB=∠BEC=90⁰，∴△AOB∽△BEC。
∴。
又∵OB=1，OA=5，∴根據(jù)勾股定理，得。
又∵BC=4，∴，即。
∵CF=2，∴，即。
∴拋物線的對稱軸與⊙C相離。
（3）存在。
假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，
∵點(diǎn)在拋物線上，∴。
又，
，
。
①當(dāng)∠A=90⁰時(shí)，在中，由勾股定理，得 ，
∴，整理，得。
∴，解得或，∴或。
∴點(diǎn)P為（7，－12）或（0，－5）（舍去）。
②當(dāng)∠C=90⁰時(shí)，在中，由勾股定理，得，
∴，整理，得。
∴，解得或，∴或。
∴點(diǎn)P為（2，3）或（5，0）（舍去）。
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，－12）或（2，3）。

（1）由于已知拋物線的頂點(diǎn)為（3，4），故應(yīng)用待定系數(shù)法，設(shè)頂點(diǎn)式求解。
（2）過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，應(yīng)用△AOB∽△BEC求得CE的長，與點(diǎn)C到拋物線的對稱軸的距離比較即可。
（3）用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表示三邊的長，分∠A=90⁰和∠C=90⁰兩種情況討論即可。