Question

將一副直角三角板DEF按如圖1擺放，使直角頂點(diǎn)D落在等腰Rt△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)上，DF，DE分別與AB，AC交于點(diǎn)M，N；
（1）如果把圖1中的△DCN繞點(diǎn)D順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)180°，得到圖2，在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下，圖2中除△DCN≌△DBG外，你還能找到一對(duì)全等的三角形嗎？寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；
（2）將三角板DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)M，N分別在A(yíng)B，AC上時(shí)，線(xiàn)段BM，CN，MN之間有一個(gè)確定的等量關(guān)系．請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式（不需證明）；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)M，N分別在BA，AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，①的關(guān)系式是否仍然成立？寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）解：答案不唯一，如△MGD≌△MND；
證明：∵△DCN繞點(diǎn)D順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)180°得到△DBG，
∴△DCN≌△DBG，G、D、N三點(diǎn)共線(xiàn)，
∴DN=DG，
在△MGD和△MND中，
MD=MD，∠MDG=∠MDN=90°，DN=DG，
∴△MGD≌△MND（SAS）．

（2）解：①BM²+CN²=MN²；
②：①的關(guān)系式仍然成立；
將△DCN繞點(diǎn)D順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)180°，連接GM，
∴△DCN≌△DBG，
∴∠DCN=∠DBG，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACD=45°，
∴∠DCN=∠DBG=135°，
∠ABG=∠DBG-∠ABC=90°，
同理可證△MGD≌△MND，
∴GM=MN，
在Rt△GBM中：BG²+BM²=GM²，
∴BM²+CN²=MN²．
分析：（1）應(yīng)找較簡(jiǎn)單的，易得到結(jié)論的兩個(gè)三角形，比如△MGD≌△MND，可利用邊角邊證其全等；
（2）①應(yīng)利用題中已知的，和（1）中求得的兩個(gè)三角形全等，得到CN=BG，MN=MG，易得∠MBG=∠ABD+∠CBG=90°，那么可得所求三邊的關(guān)系；
②按照前面的方法構(gòu)造同樣的三角形全等把所求的三條線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)移，方法同①．
點(diǎn)評(píng)：此題把旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和勾股定理結(jié)合求解．綜合性強(qiáng)，難度大．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．注意找全等應(yīng)找容易求得全等的三角形，應(yīng)用類(lèi)比的方法求解復(fù)雜問(wèn)題．