Question

【題目】如圖1所示，已知：點(diǎn)在雙曲線：上，直線，直線與關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，兩點(diǎn)間的連線與曲線第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，是曲線上第一象限內(nèi)異于的一動(dòng)點(diǎn)，過作軸平行線分別交，于兩點(diǎn).

（1）求雙曲線及直線的解析式；

（2）求證：；

（3）如圖2所示，的內(nèi)切圓與三邊分別相切于點(diǎn)，求證：點(diǎn)與點(diǎn)重合.（參考公式：在平面坐標(biāo)系中，若有點(diǎn)，，則A、B兩點(diǎn)間的距離公式為=.

Answer 1

【答案】（1），；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得a值，即可得雙曲線C的解析式，易得與軸的交點(diǎn)分別是，可求得與軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，即可得直線的解析式；（2）設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式證明出，，所以；（3）與三別分別相切于點(diǎn)所以PR=PS,,可得，又因，所以QO=2而即點(diǎn)與點(diǎn)重合.

試題解析：（1）解：

與軸的交點(diǎn)分別是，它們關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是

（2）設(shè)

，

同理

因此

（3）與三別分別相切于點(diǎn)

又，

而

所以，點(diǎn)與點(diǎn)重合.（第三問如果計(jì)算得出，并且點(diǎn)與點(diǎn)都在線段內(nèi)，那么也可以證明點(diǎn)與點(diǎn)重合）