Question

如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點D是BC邊上的一個動點
（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=45°．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出當(dāng)BD為何值時AE取得最小值？
（3）在AC上是否存在點E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，易證△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，對應(yīng)邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)可求出其最小值．
（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時，因為三角形的腰和底不明確，所以應(yīng)分AD=DE，AE=DE，AD=AE三種情況討論求出滿足題意的AE的長即可．

解答：（1）證明：
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=∠ADE=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴

BD

EC

=

AB

CD

∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴BC=

2

，DC=

2

-x，EC=1-y，
∴

x

1-y

=

1

2 -x

，y=x²-

2

x+1=（x-

2

2

）²+

1

2

，
當(dāng)x=

2

2

時，y有最小值，最小值為

1

2

；

（3）當(dāng)AD=DE時，△ABD≌△CDE，
∴BD=CE，
∴x=1-y，即

2

x-x²=x，
∵x≠0，
∴等式左右兩邊同時除以x得：x=

2

-1
∴AE=1-x=2-

2

，
當(dāng)AE=DE時，DE⊥AC，此時D是BC中點，E也是AC的中點，
所以，AE=

1

2

；
當(dāng)AD=AE時，∠DAE=90°，D與B重合，不合題意；
綜上，在AC上存在點E，使△ADE是等腰三角形，
AE的長為2-

2

或

1

2

．

點評：此題綜合考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，但難度適中，是一道好題．