已知關(guān)于x的方程:
x2+a
x-2
-a-1=0
有一個(gè)增根為b,另一根為c.二次函數(shù)y=ax2+bx+c+7(-
3
2
≤x≤
3
2
)
與x軸交于P和Q兩點(diǎn).在此二次函數(shù)的圖象上求一點(diǎn)M,使得△PQM面積最大.
分析:方程
x2+a
x-2
-a-1=0
可化簡(jiǎn)為x2+a=(a+1)(x-2).方程
x2+a
x-2
-a-1=0
只有x=2時(shí)才有增根,可推出b=2;將x=2代入方程x2+a=(a+1)(x-2)得4+a=0即a=-4,再根據(jù)a的值求出c并確定解析式,再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和x的取值范圍確定△PQM面積最大時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:由題意可得b=2,a=-4代入方程得c=-5.
∴二次函數(shù)為y=-4x2+2x+2與x軸的交點(diǎn)為P(-
1
2
,0),Q(1,0),
當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x=-
3
2
或x=
1
4
或x=
3
2
時(shí),
△PQM的面積可能取最大,
經(jīng)比較可得x=-
3
2
時(shí),△PQM的面積取最大,
此時(shí)y=-10即點(diǎn)M(-
3
2
,-10),
S△PQM=
15
2
點(diǎn)評(píng):學(xué)會(huì)巧妙地利用分式方程的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題,同時(shí)要明確增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行:
①確定增根;
②化分式方程為整式方程;
③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.
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2
2

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