Question

問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，點D是射線CB上任意一點，△ADE是等邊三角形，且點D在∠ACB的內部，連接BE．探究線段BE與DE之間的數量關系．請你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明．
（1）當點D與點C重合時（如圖2），請你補全圖形．由∠BAC的度數為______，點E落在______，容易得出BE與DE之間的數量關系為______；
（2）當點D在如圖3的位置時，請你畫出圖形，研究線段BE與DE之間的數量關系是否與（1）中的結論相同，寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意畫出圖形，由直角三角形及等邊三角形的性質即可得出結論；
（2）根據題意畫出圖形，猜想：BE=DE，取AB的中點F，連接EF，由∠ACB=90°，∠ABC=30°，可知∠1=60°，CF=AF=AB，故△ACF是等邊三角形，再由△ADE是等邊三角形可得出∠CAD=∠FAE，由全等三角形的判定定理可知△ACD≌△AFE，故∠ACD=∠AFE=90°．由F是AB的中點，可知EF是AB的垂直平分線，
進而可得出△ADE是等邊三角形，故DE=AE，BE=DE．
解答：解：（1）如圖2，
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AE=CE，
∴點E落在AB的中點處；
∴AE=CE=BE=DE，
故答案為：60°；AB的中點處；BE=DE；

（2）如圖3．
猜想：BE=DE．
證明：取AB的中點F，連接EF．
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠1=60°，CF=AF=AB，
∴△ACF是等邊三角形．
∴AC=AF   ①
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠2=60°，AD=AE   ②
∴∠1=∠2．
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．
即∠CAD=∠FAE③
由①②③得△ACD≌△AFE（SAS）． 
∴∠ACD=∠AFE=90°．
∵F是AB的中點，
∴EF是AB的垂直平分線，
∴BE=AE，
∵△ADE是等邊三角形，
∴DE=AE，
∴BE=DE．
點評：本題考查的是等邊三角形的性質及直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．