【題目】如圖,對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過點A(-1,0) ,C(0,5)兩點與x軸另一交點為B,已知M(0,1),E(a,0),F(xiàn)(a+1,0),點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點.

(1)求此拋物線的解析式.

(2)當(dāng)a=1時,求四邊形MEFP面積的最大值,并求此時點P的坐標(biāo).

(3)若PCM是以點P為頂角頂點的等腰三角形,求a為何值時,四邊形PMEF周長最小?請說明理由.

【答案】(1)y=-x2+4x+5.(2) ,點P坐標(biāo)為(,).(3)

【解析】

試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;

(2)首先求出四邊形MEFP面積的表達式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點P坐標(biāo);

(3)四邊形PMEF的四條邊中,PM、EF長度固定,因此只要ME+PF最小,則PMEF的周長將取得最小值.如答圖3所示,將點M向右平移1個單位長度(EF的長度),得M1(1,1);作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2,則M2(1,-1);連接PM2,與x軸交于F點,此時ME+PF=PM2最。

試題解析:(1)對稱軸為直線x=2,

設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2+k.

將A(-1,0),C(0,5)代入得:

,解得

y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.

(2)當(dāng)a=1時,E(1,0),F(xiàn)(2,0),OE=1,OF=2.

設(shè)P(x,-x2+4x+5),

如答圖2,過點P作PNy軸于點N,則PN=x,ON=-x2+4x+5,

MN=ON-OM=-x2+4x+4.

S四邊形MEFP=S梯形OFPN-SPMN-SOME

=(PN+OFON-PNMN-OMOE

=(x+2)(-x2+4x+5)-x-x2+4x+4)-×1×1

=-x2+x+

=-(x-2+

當(dāng)x=時,四邊形MEFP的面積有最大值為,

把x=時,y=-(-2)2+9=

此時點P坐標(biāo)為().

(3)M(0,1),C(0,5),PCM是以點P為頂點的等腰三角形,

點P的縱坐標(biāo)為3.

令y=-x2+4x+5=3,解得x=2±

點P在第一象限,

P(2+,3).

四邊形PMEF的四條邊中,PM、EF長度固定,因此只要ME+PF最小,則PMEF的周長將取得最小值.

如答圖3,將點M向右平移1個單位長度(EF的長度),得M1(1,1);

作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2,則M2(1,-1);

連接PM2,與x軸交于F點,此時ME+PF=PM2最。

設(shè)直線PM2的解析式為y=mx+n,將P(2+,3),M2(1,-1)代入得:

,解得:m=,n=-,

y=x-

當(dāng)y=0時,解得x=

F(,0).

a+1=,a=

a=時,四邊形PMEF周長最。

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