精英家教網(wǎng)如圖,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(
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2
,-
9
8
)
,且經(jīng)過點(diǎn)A(8,14).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)該拋物線與y軸相交于點(diǎn)B,與x軸相交于C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊),試求點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)P是x軸上的任意一點(diǎn),分別連接AC、BC.試判斷:PA+PB與AC+BC的大小關(guān)系,并說明理由.
分析:(1)已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),可用頂點(diǎn)式的二次函數(shù)通式設(shè)出拋物線的解析式.然后根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式.
(2)根據(jù)(1)得出的拋物線的解析式即可求出B、C、D的坐標(biāo).
(3)如果延長(zhǎng)AC交y軸于E點(diǎn).根據(jù)A、C的坐標(biāo)可求出直線AC的解析式,不難得出E點(diǎn)的坐標(biāo),這時(shí)可發(fā)現(xiàn)E點(diǎn)正好和B點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,也就是說x軸是線段BE的垂直平分線,因此x軸上任意點(diǎn)到B、E兩點(diǎn)的距離都相等,那么AE=AC+BC,AP+PC=AP+PE,因此本題要分兩種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)P、C重合時(shí),此時(shí)AC+BC=AP+PC
②當(dāng)P、C不重合時(shí),在三角形AEP中,根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系可得出AP+PE>AE,根據(jù)前面分析的結(jié)論可得出AP+PC>AC+BC.
綜合上述兩種情況:AP+BP≥AC+BC.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-
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2
2-
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8

∵拋物線經(jīng)過A(8,14),
∴14=a(8-
5
2
2-
9
8
,
解得:a=
1
2

∴y=
1
2
(x-
5
2
2-
9
8
(或y=
1
2
x2-
5
2
x+2


(2)令x=0得y=2,
∴B(0,2)
令y=0得
1
2
x2-
5
2
x+2=0,
解得x1=1、x2=4
∴C(1,0)、D(4,0)

(3)結(jié)論:PA+PB≥AC+BC
理由是:①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),有PA+PB=AC+BC
②當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)C時(shí),
∵直線AC經(jīng)過點(diǎn)A(8,14)、C(1,0),
∴直線AC的解析式為y=2x-2
設(shè)直線AC與y軸相交于點(diǎn)E,令x=0,得y=-2,
∴E(0,-2),
則點(diǎn)E(0,-2)與B(0,2)關(guān)于x軸對(duì)稱
∴BC=EC,連接PE,則PE=PB,
∴AC+BC=AC+EC=AE,
∵在△APE中,有PA+PE>AE
∴PA+PB=PA+PE>AE=AC+BC
綜上所得AP+BP≥AC+BC.
點(diǎn)評(píng):本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及根據(jù)二次函數(shù)的解析式求函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的方法,(3)中準(zhǔn)確的作出E點(diǎn)(即B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn))并能根據(jù)三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寶山區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過原點(diǎn)O,且與x軸交于另一點(diǎn)A(A在O右側(cè)),頂點(diǎn)為B.艾思軻同學(xué)用一把寬3cm的矩形直尺對(duì)拋物線進(jìn)行如下測(cè)量:(1)量得OA=3cm,(2)當(dāng)把直尺的左邊與拋物線的對(duì)稱抽重合,使得直尺左下端點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)(如圖1),測(cè)得拋物線與直尺右邊的交點(diǎn)C的刻度讀數(shù)為4.5cm.
艾思軻同學(xué)將A的坐標(biāo)記作(3,0),然后利用上述結(jié)論嘗試完成下列各題:
(1)寫出拋物線的對(duì)稱軸;
(2)求出該拋物線的解析式;
(3)探究拋物線的對(duì)稱軸上是否存在使△ACD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)D;
(4)然后又將圖中的直尺(足夠長(zhǎng))沿水平方向向右平移到點(diǎn)A的右邊(如圖2),直尺的兩邊交x軸于點(diǎn)H,G,交拋物線于E,F(xiàn),探究梯形EFGH的面積S與線段EF的長(zhǎng)度是否存在函數(shù)關(guān)系.
同學(xué):如上述(3)(4)結(jié)論存在,請(qǐng)你幫艾思軻同學(xué)一起完成,如上述(3)(4)結(jié)論不存在,請(qǐng)你告訴艾思軻同學(xué)結(jié)論不存在的理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊腰長(zhǎng)為2
2
cm的等腰直角三角板ABC如圖放置,BC邊與x軸重合,∠ACB=90°,直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0).
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(-3,2
2
(-3,2
2
,點(diǎn)B的坐為
(-3-2
2
,0)
(-3-2
2
,0)

(2)求以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)且過點(diǎn)A的拋物線的解析式;
(3)現(xiàn)三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移,則平移的時(shí)間為多少秒時(shí),三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊腰長(zhǎng)為數(shù)學(xué)公式cm的等腰直角三角板ABC如圖放置,BC邊與x軸重合,∠ACB=90°,直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0).
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為________,點(diǎn)B的坐為________;
(2)求以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)且過點(diǎn)A的拋物線的解析式;
(3)現(xiàn)三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移,則平移的時(shí)間為多少秒時(shí),三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過原點(diǎn)O,且與x軸交于另一點(diǎn)A(A在O右側(cè)),頂點(diǎn)為B.艾思軻同學(xué)用一把寬3cm的矩形直尺對(duì)拋物線進(jìn)行如下測(cè)量:(1)量得OA=3cm,(2)當(dāng)把直尺的左邊與拋物線的對(duì)稱抽重合,使得直尺左下端點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)(如圖1),測(cè)得拋物線與直尺右邊的交點(diǎn)C的刻度讀數(shù)為4.5cm.
艾思軻同學(xué)將A的坐標(biāo)記作(3,0),然后利用上述結(jié)論嘗試完成下列各題:
(1)寫出拋物線的對(duì)稱軸;
(2)求出該拋物線的解析式;
(3)探究拋物線的對(duì)稱軸上是否存在使△ACD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)D;
(4)然后又將圖中的直尺(足夠長(zhǎng))沿水平方向向右平移到點(diǎn)A的右邊(如圖2),直尺的兩邊交x軸于點(diǎn)H,G,交拋物線于E,F(xiàn),探究梯形EFGH的面積S與線段EF的長(zhǎng)度是否存在函數(shù)關(guān)系.
同學(xué):如上述(3)(4)結(jié)論存在,請(qǐng)你幫艾思軻同學(xué)一起完成,如上述(3)(4)結(jié)論不存在,請(qǐng)你告訴艾思軻同學(xué)結(jié)論不存在的理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年上海市寶山區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過原點(diǎn)O,且與x軸交于另一點(diǎn)A(A在O右側(cè)),頂點(diǎn)為B.艾思軻同學(xué)用一把寬3cm的矩形直尺對(duì)拋物線進(jìn)行如下測(cè)量:(1)量得OA=3cm,(2)當(dāng)把直尺的左邊與拋物線的對(duì)稱抽重合,使得直尺左下端點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)(如圖1),測(cè)得拋物線與直尺右邊的交點(diǎn)C的刻度讀數(shù)為4.5cm.
艾思軻同學(xué)將A的坐標(biāo)記作(3,0),然后利用上述結(jié)論嘗試完成下列各題:
(1)寫出拋物線的對(duì)稱軸;
(2)求出該拋物線的解析式;
(3)探究拋物線的對(duì)稱軸上是否存在使△ACD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)D;
(4)然后又將圖中的直尺(足夠長(zhǎng))沿水平方向向右平移到點(diǎn)A的右邊(如圖2),直尺的兩邊交x軸于點(diǎn)H,G,交拋物線于E,F(xiàn),探究梯形EFGH的面積S與線段EF的長(zhǎng)度是否存在函數(shù)關(guān)系.
同學(xué):如上述(3)(4)結(jié)論存在,請(qǐng)你幫艾思軻同學(xué)一起完成,如上述(3)(4)結(jié)論不存在,請(qǐng)你告訴艾思軻同學(xué)結(jié)論不存在的理由.

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