Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F為AD的中點，CE⊥AB于E，設∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）當α=60°時，求CE的長；
（2）當60°＜α＜90°時，
①是否存在正整數k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
②連接CF，當CE²-CF²取最大值時，求tan∠DCF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用60°角的正弦值列式計算即可得解；
（2）①連接CF并延長交BA的延長線于點G，利用“角邊角”證明△AFG和△DFC全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據AB、BC的長度可得AG=AF，然后利用等邊對等角的性質可得∠AEF=∠G=∠AFG，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，從而得解；
②設BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE²，表示出EG的長度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG²，從而得到CF²，然后相減并整理，再根據二次函數的最值問題解答．
解答：解：（1）∵α=60°，BC=10，
∴sinα=，
即sin60°==，
解得CE=5；

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點G，
∵F為AD的中點，
∴AF=FD，
在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF，
在△AFG和△DFC中，，
∴△AFG≌△DFC（AAS），
∴CF=GF，AG=CD，
∵CE⊥AB，
∴EF=GF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴∠AEF=∠G，
∵AB=5，BC=10，點F是AD的中點，
∴AG=5，AF=AD=BC=5，
∴AG=AF，
∴∠AFG=∠G，
在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG（對頂角相等），
∴∠CFD=∠AEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整數k=3，使得∠EFD=3∠AEF；

②設BE=x，∵AG=CD=AB=5，
∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，
在Rt△BCE中，CE²=BC²-BE²=100-x²，
在Rt△CEG中，CG²=EG²+CE²=（10-x）²+100-x²=200-20x，
∵CF=GF（①中已證），
∴CF²=（CG）²=CG²=（200-20x）=50-5x，
∴CE²-CF²=100-x²-50+5x=-x²+5x+50=-（x-）²+50+，
∴當x=，即點E是AB的中點時，CE²-CF²取最大值，
此時，EG=10-x=10-=，
CE===，
所以，tan∠DCF=tan∠G===．
點評：本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，勾股定理的應用，二次函數的最值問題，作出輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，另外根據數據的計算求出相等的邊長也很重要．