Question

【題目】如圖①，先把一矩形ABCD紙片上下對折，設折痕為MN；如圖②，再把點B 疊在折痕線MN上，得到Rt△ABE．過B點作PQ⊥AD，分別交BC、AD于點P、Q．

（1）求證：△PBE∽△QAB；
（2）在圖②中，EB是否平分∠AEC？請說明理由；
（3）在（1）（2）的條件下，若AB=4，求PE的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在矩形ABCD中

∵EC∥AD，又PQ⊥AD

∴PQ⊥EC，

∴∠EPB=∠BQA=90°，

∴∠BAQ+∠ABQ=90°

∵是把B點疊在MN上得到△ABE

∴∠ABE=90°

∴∠EBP+∠ABQ=90°

∴∠EBP=∠BAQ

∴△PBE∽△QAB

（2）

解：解：EB平分∠AEC，

理由如下：

∵△PBE∽△QAB，

∴

∵由折疊可知BQ=PB．

∴ 即 ，

又∵∠ABE=∠BPE=90°，

∴△PBE∽△BAE．

∴∠AEB=∠PEB，

∴EB平分∠AEC

（3）

解：∵PQ=AB=4，

∴PB=BQ=2，

在Rt△QAB中，AB=4，BQ=2，

∴AQ= =2

∵△PBE∽△QAB，

∴ ，

∴ ，

∴PE=

【解析】（1）先利用互余得出∠EBP=∠BAQ，進而得出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論△PBE∽△QAB，得出 即 ，進而判斷出△PBE∽△BAE．即可得出∠AEB=∠PEB，結(jié)論得證；（3）先用勾股定理求出AQ，進而借助（1）的結(jié)論即可求出PE．
【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定的相關知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）才能正確解答此題．